Pido disculpas, esta es mi tercera corrección a mi respuesta. Esta pregunta es muy sutil
de hecho. Espero que esta respuesta es la mejor!
Primero de todo, si usted desea tomar ventaja de la Mentira del teorema de
usted menciona (algún tiempo llamado tercer Mentira teorema), la Mentira de álgebra tiene que
ser real, como debe de ser la Mentira de álgebra de una real Mentira grupo. Entonces, si usted
está interesado en la mecánica cuántica, aplicaciones, me refiero a que si usted desea
que los generadores son también generadores de un unitario
representación de una Mentira grupo, los generadores deben Hermitian al menos
y a, a† no lo son.
Por lo que primero se tiene que pasar a la lucha contra la auto-adjunto generadores (*), para
ejemplo, la introducción de dos constantes de $\omega, m >0$:
$$-iI,-iH,-iP, -iK:= -imX\qquad (1)$$
donde, hasta factores reales (así que sin cambiar la verdadera Mentira de álgebra) X
y P están dadas por $a+a^\dagger$ $i(a−a^\dagger)$ como es bien sabido.
$m$ tiene el significado físico de la masa de la partícula y $H = \manejadores
\omega(a^\daga, un + \frac{1}{2})$ puede ser re-organizado para:
$$H = \frac{1}{2m}P^2 + \frac{m\omega^2}{2}X^2$$
Los operadores de (1) son, de hecho, esencialmente auto-adjunto en el denso conjunto de
hecho finito de combinaciones lineales de los vectores $|n\rangle$, autoestados
de $H$.
Clásicamente, el Galileo grupo en una dimensión incluye el tiempo
traducciones, espacio traducciones a lo largo de x, Galileian aumenta a lo largo de x.
Si pensamos en el punto de $(x,p)$ en el espacio de fases, como la
vector
$(1,1,x,p) \in \mathbb R^4$, y el elemento genérico de $G$ se denota
por un triple $(\tau,a,v)$ (la traducción en tiempo + espacio traducción + boost)
$G$ actúa sobre el sistema como
$$(1,1, x, v)^t \mapsto A(\tau,a,v) (1,1, x, p)^t$$
donde, para el oscilador armónico del sistema de $A(\tau, a,v)$ es (salvo
errores en los cálculos) el $4\times 4$ real de la matriz de
$$A(t,a,v) = \begin{bmatrix}
I & 0 \\
R_{t}T_{a,v}& R_t
\end{bmatrix} $$
donde$R_t$$T_{a,v}$$2\times 2$, respectivamente, las matrices se define como:
$$R_t = \begin{bmatrix}
\cos \omega t & -\frac{\sin \omega t}{m\omega} \\
m\omega \sin \omega t & \cos \omega t
\end{bmatrix} $$
y
$$T_{a,v} = \begin{bmatrix}
a & 0 \\
0 & mv
\end{bmatrix} $$
De esta manera, tenemos $3$ generadores $h, \pi, k$ obtener tomando el
derivado de la $A(t,a,v)$, respectivamente, en $t$, $a$ y $v$ a (0,0,0).
Las relaciones de conmutación de estos generadores son los mismos que para
$$H,P,K$$
con la siguiente excepción:
$$[\pi, k]=0\quad \mbox{instead of}\quad [\pi, k] = m$$
para ser comparado con:
$$[-iP,-iK]= - m(-iI)$$
Aviso que este colector es sólo un número, de modo que, cuando
exponentiate los generadores que da lugar a una fase en la que los viajes con
todos los operadores.
En otras palabras, si usted desea construir una representación unitaria de
$G$ actuando en el espacio de Hilbert del oscilador armónico, que se enfrentan a una
problema con la composición de la regla, como encontrar un llamado
unitario-proyectiva de la representación:
$$U(g)U(g')= e^{i\alpha(g,g')}U_{gg'}\qquad (2)$$
La fase de $e^{i\alpha(g,g')}$ surge cuando $g$ $g'$ incluye
las transformaciones generadas por el ímpetu $P$ y el aumento de $K$.
Es posible calcular $\alpha(g,g')$ mediante el uso de varios procedimientos, por ejemplo,
Hausdorff-Campbell-ecc... identidad.
Observe que la masa de $m$ explícitamente se muestra en $\alpha$ (que acaba de la forma $\alpha(g,g')= m f(g,g')$) y esto está relacionado con
De Bargmann superselection regla.
Para obtener una verdadera representación unitaria de algunos Yacen grupo uno puede ofertas
con el siguiente. Empezar desde el grupo $U(1) \times G$ (lo que se llama un
central de extensión de $G$) con la composición de la regla:
$$(e^{ia}, g) \circ (e^{ia'}, g') = (e^{i(a+a'+ \alpha(g,g'))}, gg') $$
y definir el mapa:
$$U(1)\times G \ni (e^{ia}, g) \mapsto V_{(e^{ia}, g)} := e^{ia}U_g\:.$$
Sólo en vista de (2), esta es una adecuada representación unitaria de
$U(1)\times G$.
Observe que $U(1)\times G$ tiene ahora un mayor generador de desplazamientos con
todos los otros generadores en vista del hecho de que nos han `añadido"
$U(1)$ para el grupo inicial $G$. Este generador, en el espacio de Hilbert,
es proporcional a $-iI$. El anti-uno mismo-adjoint de los generadores son:
$$-iI,-iH,-iP, -iK\:.$$
Así, podemos concluir que la consideran generadores son una representación
de la Mentira álgebra de una extensión central de un grupo de $G$, lo que representa la acción de Galileo grupo a lo largo de la $x$ eje en el oscilador armónico .
Hay algunas cuestiones pendientes.
(1) $U(1) \times G$ es una Mentira grupo. ¿Cuál es el diferencial de la estructura
pero también la topología? Este es un delicado problema resuelto por Wigner.
(2) En vista de las relaciones de conmutación de $H$$P$, este último no es una conserva de
cantidad a lo largo de la evolución del tiempo. Esto es una consecuencia del hecho de que el sistema, obviamente, no es invariante bajo
espacio de traducciones (la ubicación de el valor mínimo de la armónica
potencial corrige un origen natural). Sin embargo, el sistema admite un
conserva la cantidad asociada con el generador de $P$.
Desde $-iP$ pertenece el álgebra de la Mentira de la representación,la
$$e^{-itH} (-iP) e^{itH}$$
todavía pertenece a la Mentira de álgebra en vista del hecho de que $ e^{-itH}$
es un parámetro subgrupo de la representación. Como cuestión de hecho
(salvo trivial errores en los cálculos)
$$e^{-n} P e^{n} = -\frac{\omega\sin (\omega t)}{m} K + \cos(\omega
t) P\:.$$
Por lo tanto, de manera explícita dependiendo de la hora que es observable en Schroedinger
imagen:
$$P(t) := -\frac{\omega\sin (\omega t)}{m} K + \cos(\omega t) P$$
resulta ser una constante en la imagen de Heisenberg:
$$P(t)_H = e^{itH} P(t) e^{-itH} = P\:.$$
Este es exactamente el procedimiento explotado para asociar una cantidad constante
(siempre en la imagen de Heisenberg) para el impulso generador, incluso en
teorías de tipo relativista.
(*) Cuando uno unitarily representa Mentira grupos, el álgebra de la Mentira
el grupo es isomorfo a la correspondiente Mentira álgebra de la lucha contra la auto-adjunto generadores de la central unitaria de representación. Es cierto que la identificación de la Mentira álgebra colector con el operador de conmutador.
