Si una teoría tiene un contable $\omega$-modelo saturado ¿se necesita tener solamente contables muchos modelos contables?

Question

Si una teoría tiene numerable muchos modelos contables (hasta isomorfismo) entonces tiene a contable muchos tipos, y se deduce que existe un % contable $\omega$-modelo saturado de tal teoría.

Si una teoría tiene un contable $\omega$-saturado modelo tiene a lo más contable muchos tipos, pero no puedo ver por qué (si en todos) sigue que la teoría tiene entonces a lo más contable muchos modelos (salvo isomorfismo). ¿Es esto cierto de converse?

Answer 1

Esto no es cierto. La idea de producir un contraejemplo es para asegurarse de que sólo hay countably muchos tipos, pero también para asegurarse de que countably muchos de ellos no son aislados, por lo que puede ser omitido y se dio cuenta de a voluntad. Esto le dará continuidad a muchos de los modelos, dependiendo de qué subconjunto de la no-aislado tipos son realizados.

Aquí la más simple es la explícita contraejemplo que pude ver:

Deje $\{P_i\,|\, i\in\omega\}$ ser predicados unarios, y deje $\{c_{i,j}\,|\,i,j\in\omega\}$ ser constante símbolos.

$T$ afirma que los predicados son distintos y las constantes son distintos, y asigna countably muchas de las constantes para cada predicado, es decir, $T = \{\lnot\exists x\, P_i(x)\land P_j(x)\,|\,i\neq j\} \cup \{c_{i,j}\neq c_{i',j}\,|\,i\neq i'\} \cup \{P_i(c_{i,j})\,|\,i,j\in\omega\}$.

El estándar de argumentos para juguete de teorías como la de este espectáculo que $T$ eliminación de cuantificadores y se completa. La clave es que cada tipo de $p_i(x): \{P_i(x)\} \cup \{x\neq c_{i,j}\,|\,j\in\omega\}$, afirmando que $x$ es un anónimo elemento de satisfacciones $P_i$, no es aislado.

$T$ tiene una contables $\omega$saturado modelo de $M$, lo que ha countably muchos sin nombre de los elementos de la satisfacción de cada una de las $P_i$, además de countably muchos de los elementos que no cumplan cualquiera de $P_i$.

Pero $T$ también ha continuum muchos que no son isomorfos modelos. Para cualquier $S\subseteq \omega$, vamos a $M_S$ ser un modelo que tiene uno sin nombre elemento de satisfacciones $P_i$ todos los $i\in S$ y no de sin nombre del elemento de satisfacciones $P_i$ todos los $i\notin S$.