¿Por qué es una variedad etale localmente como espacio afín?

Question

Recuerdo de una conversación alguien diciendo que "un esquema es etale localmente como afín espacio" y me pregunto lo que esto podría significar.

Deje $Var/K$ ser el sitio de variedades sobre un campo $K$ con el etale topología. Mi primera conjetura de un sentido de la anterior diciendo que cada una de las $X\in Var/K$ tiene un etale cubierta $\{V_j\to X\}$$V_j\cong\mathbb{A^n}$. Pero esto es incorrecto ya que por ejemplo cada etale de morfismos en $X=Spec(K)$ tiene un dominio finito distinto de la unión de los espectros de finito separables campo extensiones de $K$.

¿Qué significa esto?

Answer 1

La demanda es demasiado amplia para ser verdad, creo. He aquí una más modesta:

Cada variedad lisa sobre un campo es étale-a nivel local como espacio afín.

Formalmente, esto equivale a la siguiente hecho: si $f : X \to Y$ es una de morfismos de esquemas suave en un punto de $x$$X$, entonces existe un número natural $d$, afín a abrir barrios $U \subseteq X$, $x \in U$, $V \subseteq Y$, $f(x) \in V$, y un conmutativo el diagrama de la forma $$\begin{array}{ccccc} U & = & U & \to & X \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb{A}^d_V & \to & V & \to & Y \end{array}$$ donde $U \to \mathbb{A}^d_V$ es étale. Este es el Lema 054L en las Pilas del proyecto. En particular, podemos tomar $Y = \operatorname{Spec} k$ aquí para obtener la reclamación.