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Mapas de $\mathbb{R}^3$ preservando el producto cruzado

Dado un mapa $\phi:\Bbb R^3 \rightarrow \Bbb R^3$ tales que para todos los $a,b \in \Bbb R^3$:

$$\phi(a \times b)=\phi(a) \times \phi(b)$$

¿Es $\phi$ necesariamente una rotación alrededor del origen o el mapa que envía cada punto a $0$?

(Tenga en cuenta que $\phi$ no es necesario ser continuo o incluso lineal.)

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