Velocidad de convergencia de las sumas de Riemann

Question

Esta pregunta se inspira en un pregunta anterior . Se demostró que, para toda función $f \in \mathcal{C} ([0, 1])$ ,

$$\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n} f \left( \frac{k}{n+1} \right) - \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 f (x) \ dx.$$

Una afirmación más fuerte sería que existe alguna constante $a(f)$ tal que:

$$\sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) = n \int_0^1 f (x) \ dx + a(f) + o(1),$$

o, en otras palabras, que hay un desarrollo asintótico en el orden $1$ de las sumas de Riemann:

$$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 f (x) \ dx + \frac{a(f)}{n} + o(n^{-1}).$$

Dado $f$ ¿podemos encontrar siempre esa constante $a(f)$ ? Si esto es falso, ¿podemos encontrar un contraejemplo? Si esto es cierto, ¿podemos $a(f)$ ¿se escribe explícitamente?

He echado un vistazo rápido a la literatura, pero la mayoría de las asintóticas para las sumas de Riemann implican diferentes mallas, que dependen de la función $f$ .

Answer 1

En el subespacio $\mathcal{C}^1([0,1])$ de funciones continuamente diferenciables, tenemos

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) - n\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{f(0) - f(1)}{2}.$$

Podemos ver que al calcular

$$\begin{align} &\Biggl\lvert\frac12\left(f\left(\frac{k}{n}\right) + f\left(\frac{k+1}{n}\right)\right) - n\int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x)\,dx\Biggr\rvert\\ &\qquad = \frac{n}{2}\left\lvert \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left(f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f(x)\right) - \left(f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\,dx\right\rvert\\ &\qquad = \frac{n}{2}\left\lvert\int_{k/n}^{(k+1)/n}\int_x^{(k+1)/n} f'(t)\,dt - \int_{k/n}^x f'(t)\,dt\,dx\right\rvert\\ &\qquad = \frac{n}{2}\left\lvert\int_{k/n}^{(k+1)/n}\left(t-\frac{k}{n}\right)f'(t) - \left(\frac{k+1}{n}-t\right)f'(t)\,dt\right\rvert\\ &\qquad = n\left\lvert\int_{k/n}^{(k+1)/n} \left(t-\frac{k+\frac12}{n}\right)f'(t)\,dt\right\rvert\\ &\qquad = n\left\lvert\int_{k/n}^{(k+1)/n} \left(t-\frac{k+\frac12}{n}\right)\left(f'(t)- f'\left(\frac{k+\frac12}{n}\right)\right)\,dt\right\rvert\\ &\qquad \leqslant n \cdot\omega_{f'}\left(\frac{1}{2n}\right) \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left\lvert t-\frac{k+\frac12}{n}\right\rvert\,dt\\ &\qquad = \frac{1}{4n}\cdot\omega_{f'}\left(\frac{1}{2n}\right), \end{align}$$

donde

$$\omega_{f'}(\delta) = \sup \left\lbrace \lvert f'(s) - f'(t)\rvert : s,t\in [0,1], \lvert s-t\rvert \leqslant \delta\right\rbrace$$

es un módulo de continuidad de $f'$ . Resumiendo obtenemos

$$\left\lvert \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) - \frac{f(0)-f(1)}{2} - n\int_0^1 f(x)\,dx\right\rvert \leqslant \frac14 \cdot\omega_{f'}\left(\frac{1}{2n}\right),$$

y la continuidad de $f'$ significa $\lim\limits_{\delta\searrow 0} \omega_{f'}(\delta) = 0$ .

Pero no hay ningún mapa $\alpha \colon \mathcal{C}([0,1]) \to \mathbb{C}$ tal que para cada $f \in \mathcal{C}([0,1])$ tenemos

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) - n\int_0^1 f(x)\,dx = \alpha(f),$$

o de forma equivalente

$$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx + \frac{\alpha(f)}{n} + o\left(\frac1n\right).$$

Porque si lo hubiera, ya que $\mathcal{C}([0,1])$ es un espacio de Banach bajo la norma de supremacía, el teorema de Banach-Steinhaus (principio de acotación uniforme) afirmaría que la familia

$$T_n \colon f \mapsto \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) - n\int_0^1 f(x)\,dx$$

es equicontinua, o limitada por la norma.

Sin embargo, es fácil ver que

$$\lVert T_n\rVert = 2n.$$

Así, el conjunto de $f \in \mathcal{C}([0,1])$ tal que

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) - n\int_0^1 f(x)\,dx$$

existe es escaso (sin embargo, es estrictamente mayor que $\mathcal{C}^1([0,1])$ ).

Tenga en cuenta que el pregunta anterior sólo consideró funciones continuamente diferenciables, es decir $\mathcal{C}^1([0,1])$ . El teorema de Banach-Steinhaus muestra que

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n+1}\right) - \underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)}_{S_n(f)}$$

no existe para todos $f\in\mathcal{C}([0,1])$ , ya que $\lVert S_{n+1} - S_n\rVert = 2n-1$ no está acotado.