Si un grupo $G$ tiene orden impar, entonces la función cuadrada es inyectiva.

Question

Supongamos que $G$ tiene orden impar, mostrar el % de la función #% definida en $f:G\rightarrow G$ #% es inyectivo. Esta proposición es fácilmente demostrable si asumimos $f(x)=x^2$ es Abelian, pero no sé cómo empezar esto sin la asunción de ser Abelian.

Answer 1

Que $|G|=2n-1$. Asumir $a^2=b^2$. Entonces $a=a\cdot a^{2n-1}=(a^2)^n=(b^2)^n=b$.

Answer 2

En general, $m,n \in \mathbb{Z}_{>0}$ $\gcd(m,n)=1$ $G$ es un grupo de orden $n$, entonces la función de $f:G\rightarrow G$ definido por $f(x)=x^m$ es un bijection.

Prueba. Por Bézout elija $k,l \in \mathbb{Z}$ $km+ln=1$ y proceder de una manera similar como en Hagen prueba.

Siguiente lhf del comentario (¡gracias!), lo contrario también es cierto: suponga que el $f(x)=x^m$ es un bijective función. Deje $p$ ser una de las primeras con $p|n$. Vamos a mostrar que el $p$ no divide $m$: por Cauchy Teorema existe una $x \in G$$ord(x)=p$. Desde $f(1)=1^m=1$ y $x \neq 1$, $x^m$ debe ser un no-trivial de alimentación de $x$. Por lo tanto $ord(x^m)=p$ y esto sólo puede ser el caso si $p \nmid m$. De ello se desprende que $m$ $n$ debe ser relativamente primos $\square$.

Answer 3

Hagen respuesta es la mejor. Pero aquí es otra toma que utiliza el abelian caso para el caso general:

Tome $g\in G$ y considerar la restricción $\phi$$f$$C=\langle g \rangle$, el grupo cíclico generado por $g$. Debido a $C$ es un subgrupo, $\phi$ mapas de $C$$C$. Debido a $C$ es abelian, $\phi$ es un homomorphism $C\to C$. Desde $C$ ha extraña orden, $\ker \phi$ es trivial y $\phi$ es inyectiva. Por lo $\phi$ es surjective, porque $C$ es finito. Pero esto significa que $f$ sí es surjective y, por tanto inyectiva, porque $G$ es finito.