Por qué apropiado que la aceleración es $du/dt$ e no $du/d\tau$?

Question

Wikipedia dice:

En la teoría de la relatividad, la adecuada aceleración[1] es la física de aceleración (es decir, medibles aceleración como por un acelerómetro) experimentada por un objeto.

y dice:

En el estándar inercial de coordenadas de la relatividad especial, para unidireccional movimiento, propio de la aceleración es la tasa de cambio apropiado de la velocidad con respecto a la coordenada de tiempo.

Por qué coordenada de tiempo?

Que yo sepa el observador en movimiento en sí mide la adecuada cosas. Es el reloj de medidas de tiempo adecuado, es velocímetro medidas adecuadas de velocidad.

Así que si el observador se acelera con $10m/s^2$ (y se siente adecuado de la aceleración), no es la velocidad indicada por el local velocímetro cambios $10m/s$ por segundo en el reloj local?

Answer 1

El problema tiene que ver con una nomenclatura incompatible entre la velocidad adecuada y correcta de aceleración. Primero, permítanme explicarles lo adecuado de la aceleración, como se define en el artículo de wiki y la mayoría de la relatividad de los libros de texto.

Un relativista objeto sigue una trayectoria en cuatro dimensiones espacio-tiempo $(t(\tau),\vec{x}(\tau))$. Es más intuitivo para convertir este cuatro-dimensional de movimiento en la más conocida de movimiento tridimensional $\vec{x}(t)$, dentro de un cierto marco de referencia inercial. ¿Cómo podemos hacer esto? Obviamente, podemos calcular las coordenadas del camino de $\vec{x}(t)$ si conocemos las coordenadas de aceleración $\vec{a}(t)$ del objeto. La pregunta entonces es ¿cómo podemos relacionar $\vec{a}(t)$ a la fuerza que actúa sobre el objeto. En otras palabras, supongamos que el objeto en sí se siente una aceleración $\vec{a}{}'(t')$ en su propio marco de referencia. ¿Cuál es la relación entre el$\vec{a}(t)$$\vec{a}{}'(t')$?

Primero de todo, podemos pensar de una aceleración de objeto como un objeto que "saltos" entre los marcos inerciales. Así, en cualquier instante, se puede decir que el objeto se encuentra en un determinado marco inercial, donde un observador inercial verá el objeto de acelerar con $\vec{a}{}'(t')$. En efecto, suponga que la aceleración en el marco descrito por las coordenadas $(t',\vec{x}{}')$. Ahora definir un co-movimiento inercial marco que momentáneamente coincide con la aceleración de los marcos, por lo que es también es descrito por $(t',\vec{x}{}')$. Ahora, vamos a llamar a $\vec{a}{}'$ la aceleración del objeto, medido por el observador inercial.

En un intervalo de tiempo infinitesimal $\text{d}t'$ va a ver el objeto que se mueve con una velocidad de $\text{d}\vec{v}{}' = \vec{a}{}'\text{d}t'$. En la aceleración de marco, la situación es completamente simétrica: una aceleración de observador verá el observador inercial que se mueve lejos con la misma velocidad $-\text{d}\vec{v}{}'$ (obviamente en la dirección opuesta), por lo que se va a medir la misma aceleración $-\vec{a}{}' = -\text{d}\vec{v}{}'/\text{d}t'$. La diferencia es que la aceleración del observador 'siente' la aceleración de sí mismo, por lo que concluye que él es, de hecho, es la que se acelera, debido a alguna fuerza, con la aceleración de $\vec{a}{}'$.

Así que ahora que nos gustaría encontrar una manera de transferir $\vec{a}{}'(t')$$\vec{a}(t)$. En otras palabras, estamos en busca de una cantidad que

• es igual a $\vec{a}{}'(t')$ en la aceleración de marco (o el co-movimiento de los sistema inercial),
• se transfiere fácilmente a partir de un sistema inercial a otro. En otras palabras, puede ser escrita en la forma de un Lorentz-invariante.

Un primer candidato sería el vector-a parte de las cuatro de la aceleración: $$ \vec{A} = \frac{\text{d}^2\vec{x}}{\text{d}\tau^2} = \frac{\text{d}\vec{U}}{\text{d}\tau}, $$ donde $$ \vec{U} = \frac{\text{d}\vec{x}}{\text{d}\tau} = \gamma\vec{v}, $$ es (por desgracia) a la velocidad adecuada. Nos encontramos $$ \vec{A} = \frac{\text{d}\gamma}{\text{d}\tau}\vec{v} + \gamma\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}\tau} = \gamma^4\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c^2}\right)\vec{v} + \gamma^2\vec{a}, $$ donde $\vec{v}$ $\vec{a}$ son las coordenadas de la velocidad y de la aceleración del objeto en la inercia de reposo-marco. $\vec{A}$ cumple claramente, nuestro primer criterio: en el co-movimiento de los sistema inercial (con imprimación de coordenadas), $\vec{A}$ hace $\vec{A}{}'$; tenemos $\vec{v}{}'=\vec{0}$, lo $\gamma'=1$, y la de coordinar la aceleración es $\vec{a}{}'$, por lo que el $\vec{A}{}'=\vec{a}{}'$. Sin embargo, $\vec{A}{}'$ no es un Lorentz-invariante: mientras que el buen tiempo $\text{d}\tau$ es de Lorentz -invariante, la coordenada de desplazamiento $\text{d}\vec{x}$ no lo es. De modo que la relación entre el $\vec{A}$ $\vec{A}{}'$ no es obvia. Esto era de esperar, ya que estamos perdiendo el tiempo-componente de la cuatro-aceleración: $$ A^0 = \frac{\text{d}U^{\!0}}{\text{d}\tau} = c\frac{\text{d}\gamma}{\text{d}\tau} = \gamma^4\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{c}. $$ Y ahora somos capaces de construir un Lorentz-invariante. En este post, me mostró que $$ \sqrt{-A_\mu^\mu} = \sqrt{(\vec{A})^2 - (a^0)^2} = \frac{\gamma^3}{\gamma_\asesino}, $$ donde $$ \gamma_\asesino^{-1} = \sqrt{1 - v_\asesino^2/c^2} $$ y $v_\perp$ es el componente de $\vec{v}$ perpendicular a $\vec{a}$. Así que si ahora podemos definir el vector $$ \vec{\alpha} = \frac{\gamma^3}{\gamma_\asesino} \vec{a}, $$ tenemos la cantidad que hemos tratado: en el co-movimiento de los fotogramas, $\vec{\alpha}{}' = \vec{a}{}'$, e $\alpha=||\vec{\alpha}||$ es una de Lorentz-invariante, por lo que el $\alpha=\alpha'$. En otras palabras, si conocemos el valor de $\vec{a}{}'=\vec{\alpha}{}'$ en la aceleración de la trama, que de inmediato se puede obtener la aceleración correspondiente en el resto de fotograma: $\vec{a}= \vec{\alpha}\gamma_\perp/\gamma^3$. Hay una complicación, sin embargo: sólo la norma de $\vec{\alpha}$ es de Lorentz-invariante, pero no su orientación. Así, en orden para que esto funcione, tenemos que asumir que la aceleración en el marco de esta orientado de tal manera que la dirección de la $\vec{a}{}'$ es lo mismo que $\vec{a}$. En otras palabras, el resto de marco de observador también necesita saber la orientación de $\vec{a}{}'$ en su reposo-marco.

Es esta $\alpha$ que se suele llamar la adecuada aceleración. En el caso particular de que el objeto es la aceleración paralela a la velocidad, obtenemos $$ \vec{\alpha} = \gamma^3\vec{a} = \frac{\text{d}(\gamma\vec{v})}{\text{d}t} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}\vec{x}}{\text{d}\tau}\right). $$ La mezcla de $\text{d}t$ $\text{d}\tau$ surge del hecho de que $\vec{\alpha}$ proporciona un vínculo entre los dos marcos de referencia: la coordenada resto del marco y la 'adecuada' aceleración de la trama. Eso es todo lo que hay: la propia aceleración es una herramienta útil para calcular las aceleraciones en diferentes marcos de referencia.

Una aplicación conocida es la relativista cohete, donde la experiencia de los pasajeros de un constante debida a la aceleración de la $1\;g$, en paralelo a su velocidad. La aceleración correspondiente en el resto de marco es, a continuación, $a=g/\gamma^3$ (tenga en cuenta que disminuye en la medida en $v$ de aumento), y el cohete tiene una llamada hiperbólica de movimiento.

Por desgracia, la nomenclatura no es consistente. Ciertamente tiene sentido llamar a $\alpha$ el correcto aceleración: es la aceleración sentida por un no-inercial observador, y es de Lorentz-invariante, en consonancia con, por ejemplo, en el tiempo apropiado,$\tau$. Sin embargo, por alguna insondable razón, la gente decidió llamar a $\vec{U}=\text{d}\vec{x}/\text{d}\tau$ la velocidad adecuada, lo que en mi opinión es un error. Como $\vec{A}$, no es un Lorentz-invariante. Si uno fuera consistente, entonces la Lorentz scalair $$\sqrt{U_\mu U^{\!\mu}} = \sqrt{\gamma^2c^2 - \gamma^2v^2} = c$$ debe llamarse la velocidad adecuada. De hecho, se podría decir que nos estamos moviendo a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz.

El problema se agrava, porque, desde $\vec{U}$ es llamada correcto de la velocidad, algunos autores (aunque una minoría), en realidad, llame a $\vec{A}$ el correcto aceleración. De ahí la confusión.

Answer 2

Porque es un error. Usted puede ver las fórmulas en esta sección

http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_acceleration#In_curved_spacetime

de que el artículo que seguramente significaba el momento adecuado. Ya he cambiado la palabra "coordinar" a la "apropiada" en la frase en la Wikipedia. Adecuada de aceleración, al igual que cualquier cantidad adecuada, se espera que sea independiente de la elección de la inercia del sistema y la definición que involucra la coordinación del tiempo se demuestra que es dependiente de los estímulos.

Así, incluso la definición con el buen tiempo en el denominador depende del marco de referencia, pero sólo a través de la rotación de la spacelike vector $A^\mu$, no de su longitud.

Alternativamente, la frase podría haber sido corregido añadiendo el comentario de que la derivada tiene que ser computada en la instantánea marco del resto de la aceleración del objeto. Con esta calificación, se podría haber mantenido la coordinación del tiempo.

Answer 3

Desde el artículo de Wiki Cuatro-aceleración:

En la relatividad especial, cuatro de aceleración es un vector y se define como el cambio en cuatro de velocidad sobre la partícula apropiado tiempo:

$$\mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U}}{d\tau}=\left(\gamma_u\dot\gamma_u c,\gamma_u^2\mathbf un+\gamma_u\dot\gamma_u\mathbf u\right) =\left(\gamma_u^4\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}}{c},\gamma_u^2\mathbf{a}+\gamma_u^4\frac{\left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\right)}{c^2}\mathbf{u}\right)$$ donde

$$\mathbf a = {d\mathbf u \over dt}$$

y

$$\dot\gamma_u = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \gamma_u^3 = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \frac{1}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^{3/2}}$$

y $\gamma_u$ es el factor de Lorentz para la velocidad de $u$. Un punto por encima de un variable indica un derivado con respecto a la coordenada de tiempo en un determinado marco de referencia, no es el momento adecuado $\tau$.

En un instantáneamente co-movimiento inercial marco de referencia de $\mathbf u = 0$, $\gamma_u = 1, $ and $\dot\gamma_u = 0$, es decir, una referencia marco : $\mathbf{A} =\left(0, \mathbf a\right)$

Geométricamente, cuatro de aceleración es un vector curvatura de un mundo de la línea.

Por lo tanto, la magnitud de la cuatro-aceleración (que es un invariante escalar) es igual a la correcta aceleración que un movimiento la partícula "se siente" moviendo a lo largo de un mundo de línea.

Sólo como adecuado el tiempo es un invariante, la magnitud de la cuatro-aceleración es un invariante y, como se puede ver, igual a una, la magnitud de la coordenada de tiempo derivado de la u.

También, desde el Wiki de artículo Apropiado de la aceleración:

En la teoría de la relatividad, la adecuada aceleración es la física aceleración (es decir, medibles aceleración como por un acelerómetro) experimentado por un objeto. Es por lo tanto la aceleración relativa a un caída libre, o inercial, el observador que está momentáneamente en reposo relativo para el objeto que está siendo medido.

Dado que esta noción de la correcta aceleración, la aceleración relativa a un marco inercial relativamente no-movimiento en ese instante, es fácil ver por qué el derivado con respecto a la coordenada de tiempo.

Answer 4

La respuesta a esta pregunta es, evidentemente, en controversia, en la siguiente, voy a hacer el caso de que la magnitud de la coordenada de tiempo derivado de la correcta velocidad es un invariante y, en lugar de añadir a mi anterior respuesta, voy a argumentar que el caso aquí.

Considerar el estándar habitual de configuración de dos sistemas de coordenadas, (t', x'), (t, x), con uniforme de la velocidad relativa $v$, donde la velocidad de la partícula en el preparado y de la onu-cebado de marcos es $u'$ $u$ respectivamente.

Desde el relativista de la velocidad de adición de la fórmula, tenemos:

$u' = \dfrac{u - v}{1- \frac{uv}{c^2}}$

El uso de $t' = \gamma_v(t - \frac{vx}{c^2})$, se puede demostrar que:

$\dfrac{du'}{dt'} = \dfrac{du}{dt} \dfrac{1}{\gamma^3_v(1-\frac{uv}{c^2})^3} $

Este es un resultado general, pero, en el caso de que $u'$ es instantáneamente a cero, $u =v$ y tenemos:

$\dfrac{du'}{dt'} = \gamma^3_u \dfrac{du}{dt}$

Pero, $\frac{du'}{dt'}$, en ese instante, es el invariante adecuada de aceleración $\alpha$, ya que en ese instante, la imprimación es la MCRF (Momentáneamente Co-movimiento de Marco de Referencia).

Por lo tanto, tenemos el resultado general que:

$\alpha = \gamma^3_u \dfrac{du}{dt}$.

Pero, también se da el caso de que la derivada con respecto a la coordenada de tiempo, de una adecuada velocidad de $\gamma_u u$ es:

$\dfrac{d(\gamma_u u)}{dt} = \gamma^3_u \dfrac{du}{dt}$

de esta manera se establece el resultado de que:

$\alpha = \dfrac{d(\gamma_u u)}{dt}$