Informal argumento
Así, sabemos que $\mathbb{R}$ con su habitual topología está conectado, y, por supuesto, $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ no lo es. Cualquier $``$supone" isomorfismo debe concedernos un homeomorphism de $\mathbb{R}$ con su habitual topología de a $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ con la topología que se hereda $\mathbb{R}$. Así llegamos a la conclusión de que no pueden ser isomorfos.
Más Argumento Formal
Supongamos que un bijection $i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\setminus \{0\}$ es tal que $\forall x \forall y: x<y \longrightarrow f(x)<f(y)$, y además, $\forall a \forall b: a<b \longrightarrow f^{-1}(a)<f^{-1}(b)$. Extracto de una subconjuntos $\Psi$$\xi$$\mathbb{R}\setminus\{0\}$: $$\Psi = \{x\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \mid x<-\frac{1}{n} \forall n\in \mathbb{N} \}$$
$$
\xi = \{x\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \mid x>\frac{1}{n} \forall n \in \mathbb{N}\}
$$
Está claro que $\Psi \cup \xi = \mathbb{R}\setminus \{0\}$. Es también el caso de que $\Psi$, $\xi$ está abierto en la topología $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Desde $i^{-1}$ es un fin de preservar bijection, $i^{-1}$ nos concede ese $\mathbb{R}$ es la unión de dos conjuntos disjuntos: $i^{-1}(\Psi) \cup i^{-1}(\xi)$. De ello se desprende que la preimagen de $\Psi$, $\xi$ están abiertos en $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ es la unión de dos abiertos disjuntos conjuntos, una contradicción.
Mi pregunta
Hay una manera de evitar hablar acerca de las nociones topológicas de la conexión, o al menos frase de la conectividad en el lenguaje de los lineales de los pedidos? Este es un extracurriculares problema de mi curso en la teoría de conjuntos y la lógica y se siente como si me estoy engañando.
Por ejemplo, tenemos la noción de elementarily de equivalencia. Si dos lineal de los pedidos son isomorfos, entonces son elementarily equivalente. El contrapositivo nos da si dos lineal órdenes no son elementarily equivalente, a continuación, no son isomorfos. Así que supongo que mi pregunta real es: ¿existe una sentencia de $\phi$ en el idioma de los lineales de las órdenes que dice algo acerca de la conexión? Me refiero sin duda a $(\mathbb{R},<)$ satisface los axiomas de la densa lineal órdenes, no $(\mathbb{R}\setminus \{0\}, <)$ $\models \forall x \forall y \exists z (x<z<y)$? (Yo creo que sí). Qué tipo de oración se debe utilizar?
Editar
Que el deseo de utilizar el hecho de que $\mathbb{R}$ es un completo orden lineal, en la que cada subconjunto que está delimitado por encima, tiene al menos un límite superior. $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ no tiene esta propiedad, como Goos de la respuesta de la muestra. Por lo tanto, no son isomorfos como lineal órdenes.
