Las brechas entre los números primos

Question

Hace poco vi un video sobre el avance reciente que involucra los espacios entre los números primos. Tengo una idea que estoy seguro de que está mal, pero no sé por qué.

1. Si usted toma el producto de todos los números primos hasta un determinado número y llamar a x, no x-1 y x+1 siempre los números primos?
2. Y dado que siempre se diferencian por la 2, no se que hacer hay un número infinito de números primos que difieren por 2?

Una vez más, sé que estoy equivocado, pero me gustaría saber por qué.

Answer 1

Decir $p_k$ es el más grande de prime $\le$$n$. A continuación, tome $\displaystyle x=p_1p_2\cdots p_k$ Ahora, por supuesto, $x-1$ $x+1$ no son divisibles por cualquiera de $p_i,\ 1\le i\le k$. Pero no puede ser $p_k<p_i< x-1$ $p_k<p_j<x+1$ tal que $p_i|x-1$$p_j|x+1$. Sólo hay que mirar el ejemplo dado por @DanielFischer para apreciar este hecho.

Answer 2

Lo que proponemos es que en realidad forman parte de un muy simple y elegante, a prueba propuesto por Euclides (300 AC).

Para demostrar que existen infinitos números primos:

• Supongamos que $p_1 < p_2 < \dots < p_n$ son los únicos números primos.
• Deje $P = p_1p_2 \dots p_n + 1$. Ahora $P$ puede ser primo, pero ese no es el punto.
• Si $P$ es el primer hecho, bien, hemos encontrado otro primo, porque $P$ no es divisible por ninguno de los números primos $p_1 \dots p_n$. (El resto, en tal caso, siempre será uno.)
• Si $P$ no es primo, eso significa que se tiene un divisor $q$ que no es ni $1$ ni $P$ sí. Si $q$ fue uno de los números de $p_1 \dots p_n$, lo que significa que se divide el producto de todos los números primos $p_1p_2 \dots p_n$. Pero vamos que $q$ divide $P = p_1p_2 \dots p_n + 1$. A continuación, $q$ tiene que dividir la diferencia de dos números (ver más abajo), que es $1$. Y no prime puede hacer eso. Nuestra hipótesis nos llevó a la contradicción.
• En cualquier caso, hemos encontrado otro primo. Esto puede ser repetido infinidad de veces, produciendo infinitos números primos.

La mayoría de las personas cuando ven por primera vez, recuerde que $P$ es primo de alguna manera y, a continuación, obtener confundido al respecto.

---

Decir $m,n$ tienen un divisor común $q$. Entonces podemos escribir $m = uq$$n = tq$. Su diferencia $m - n$ puede entonces escribirse como $d = uq - tq = (u - t)q$. Como podemos ver, $d$ es divisible por $q$.

Por otra parte, Euclides prueba muestra que el primer número $P$ existe, no "construir". Hemos demostrado que una entidad matemática abstracta existe sin encontrar realmente.

Encontrar enormes números primos rápidamente es muy importante para la criptografía. Un algoritmo básico para la búsqueda de números primos se llama la Criba de Eratóstenes.

Answer 3

Otros ya han señalado que el producto del puño $n$ primos más uno no va a estar, en general, un número primo.

Sólo para señalar lo que Yitang Zhang resultado (supongo que esto es lo que das referemce).

Deje $p_n$ $n$ésimo número primo. Entonces es cierto que $$ \liminf_{n\to \infty} p_{n+1} - p_n < 70\cdot 10^6. $$ Es decir, usted siempre será capaz de encontrar conseqtive números primos que están en más de 70 millones de diferencia.

Answer 4

Anterior carteles ya han respondido a la primera parte de tu pregunta (la búsqueda de números primos de sus productos), pero todavía no la segunda parte.

Con referencia a la segunda parte de su pregunta acerca de la liquidación de los Gemelos Primer Conjetura, es decir, demostrar que hay infinitamente muchos de los números primos gemelos:

La razón por la que usted no puede usar un estilo de Euclides argumento (explicado anteriormente por David) y citar $P+1$ $P-1$ como evidencia para una infinidad de doble de los números primos es que el acto de mostrar que uno de ellos es la primer prueba por contradicción que hay no un número finito de números primos.

Una vez que haya establecido que, no importa qué otra cosa se puede derivar de la declaración falsa "Supongamos que hay un número finito de números primos...". Nada de lo que se sigue de que no está garantizada para ser verdad.

Es por eso que usted no puede resolver el Doble Conjetura de los números Primos de esa manera.