Cómo encontrar todos los naturales de $n$ tal que $\sqrt{1 {\underbrace{4\cdots4}_{n\text{ times}}}}$ es un número entero?

Question

Cómo encontrar todos los naturales de $n$ tal que $\sqrt{1\smash{\underbrace{4\cdots4}_{n\text{ times}}}}$ es un número entero?

Answer 1

Para $n \geq 4$ su número es igual a $4444$ modulo $10000$, y, en particular, modulo $16$. Si se tratara de un cuadrado, entonces $4444$ sería un cuadrado modulo $16$, lo que implica la $1111$ es un cuadrado modulo $4$. Pero $1111=3$ mod $4$, contradicción.