¿Cómo parcial fracción de la descomposición de evitar la división por cero?

Question

Esto puede ser increíblemente estúpida la pregunta, pero ¿por qué fracción parcial de la descomposición de evitar la división por cero? Permítanme darles un ejemplo:

$$\frac{3x+2}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$$

Multiplicando ambos lados por $x(x+1)$ tenemos:

$$3x+2=A(x+1)+Bx$$

al$x \neq -1$$x \neq 0$.

Lo que tradicionalmente se hace aquí es $x$ $-1$ $0$ a revelar: $$-3+2=-B \implies 1=B$$ y $$2=A$$

así nos encontramos con que

$$\frac{3x+2}{x(x+1)}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}$$

¿Por qué $x$ ser igual a las raíces del denominador (en este caso, $0$$-1$) sin la creación de una división por cero problema?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Si $\rm\:f(x),\,g(x)\,$ $\rm\:h(x)\!\ne\! 0\:$ son funciones polinómicas $\rm\:\mathbb R\:$ (o cualquier infinito campo)

$$\rm\begin{eqnarray}\dfrac{f(x)}{h(x)} = \dfrac{g(x)}{h(x)} &\Rightarrow&\rm\ f(x) = g(x)\ \ for\ all\,\ x\in\mathbb R\, \ such\ that\ h(x)\ne 0\\ &\Rightarrow&\rm\ f(x) = g(x)\ \ for\ all\ \,x\in \mathbb R \end{eqnarray}$$

desde $\rm\:p(x) = f(x)\!-\!g(x) = 0\:$ tiene infinitamente muchas raíces, viz. todos los $\rm\:x\in \mathbb R\:$ a excepción de la finitely muchas raíces de $\rm\:h(x),\,$ $\rm\:p\:$ es el polinomio cero, ya que un polinomio distinto de cero sobre un campo tiene sólo un número finito de raíces (no más de su grado). Por lo tanto $\rm\: 0 = p = f -g\:\Rightarrow\: f = g.$

Por lo tanto para resolver las variables que se producen en $\rm\:g\:$ es válido para evaluar $\rm\:f(x) = g(x)\:$ cualquier $\rm\:x\in \mathbb R,\:$ ya que es cierto para todos los $\rm\:x\in \mathbb R\:$ (que incluye todas las raíces reales de $\rm h).$

Answer 2

Buena pregunta! Este es mi cruda interpretación (véase el proyecto de Ley de la respuesta para una foto de rigor)

¿Qué es en realidad ser equiparada es el numerador, no en el denominador. Así, en el ejemplo, usted tiene que

$$\frac{{3x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 1}}$$

si

$$\frac{{3x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{A\left( {x + 1} \right) + Bx}}{{x\left( {x + 1} \right)}}$$

si $${3x + 2 = A\left( {x + 1} \right) + Bx}$$

$$3x + 2 = \left( {A + B} \right)x + A$$

lo que implica

$${A + B}=3$$

$$A=2$$

que a su vez da lo que tiene.

Cuando comparamos los numeradores le "olvidan" de los denominadores. Estamos enfocados en el polinomio de la igualdad

$$3x + 2 = \left( {A + B} \right)x + A$$

sólo. Pensé que podría ser preocupante para sustituir las raíces de los denominadores, no estamos operativos en los que, por lo tanto estamos seguros.

Answer 3

Prestando especial atención a la lógica de el primer paso, estamos diciendo que (para un determinado$A$$B$), la ecuación

$$ \frac{3x+2}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1} $$

tiene para todos los $x \neq 0,-1$ si y sólo si, la ecuación

$$ 3x+2=A(x+1)+Bx $$

tiene para todos los $x \neq 0,-1$.

Ahora, si podemos encontrar una $A$$B$, de modo que $3y+2=A(y+1)+By$ tiene para todos los valores de $y$, entonces claramente $3x+2=A(x+1)+Bx $ tiene para todos los $x \neq 0,-1$. Así que si la sustitución de $y=0$ $y=-1$ que nos permite encontrar el $A$$B$, entonces tenemos una buena respuesta.

Por cierto, una declaración más fuerte es verdadera: la ecuación

$$ 3x+2=A(x+1)+Bx $$

tiene para todos los $x \neq 0,-1$ si y sólo si, la ecuación

$$ 3y+2=A(y+1)+By $$

tiene para todos los $y$. Así que esto garantiza que no se pierde ninguna de las soluciones a la antigua problema cuando nos resuelve en lugar de considerar el último problema.

Aparte: si uno presta atención a lo que significan, uno realmente no necesita introducir una nueva variable ficticia $y$. Sin embargo, yo esperaba que podría añadir un poco más de claridad si la variable $x$ es siempre restringido a ser $\neq 0,-1$.

Puede ser útil tener en cuenta que el uso de una clase similar de razonamiento de los límites. por ejemplo, para encontrar el valor de

$$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} $$

se observa que la $x^2/x = x$ todos los $x \neq 0$, de modo que

$$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x$$

y, a continuación, aplicar el hecho de que $x$ es continua en a $0$ obtener

$$\lim_{x \to 0} x = 0$$

Answer 4

Es una de fiar pregunta. El punto clave es la siguiente lema

Vamos $f(x)=p_1(x)/q_1(x)$, $g(x)=p_2(x)/q_2(x)$ dos funciones racionales. Si $f(x)=g(x)$ todos los $x$ s.t. $q_1(x)\neq 0$ $q_2(x)\neq 0$ , $p_1(x)=p_2(x)$ en todas partes. Esto implica que usted puede deshacerse de los denominadores (por ejemplo multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador) y la observancia de la igualdad de funciones, sólo en los numeradores.