Interpretación física de la C* la propiedad

Question

Desde un punto de vista matemático, la mecánica cuántica puede ser formulado en el lenguaje de un no-conmutativa, unital C*-álgebra $\mathcal A$ (observables).

En este contexto, ¿qué C*-propiedad

$$\vert\vert A^*A \vert\vert = \vert\vert A \vert\vert^2 \qquad \forall A \in \mathcal A$$

significa desde un punto de vista físico, es decir, que física oberservation es modelado por la que requiere esta propiedad?

Answer 1

Creo que esta propiedad no puede ser dado una interpretación física de una forma agradable, como generalmente para mediciones sólo selfadjoint operadores de que se trate, como se ha señalado por @Norbert.

Sin embargo, puedo dar un matemático explicación de por qué esto es importante: El $^*$ es una involución en el álgebra de banach, y, a menudo, nos gusta pensar que es como tomar el adjunto del operador, pero en general no lo es, especialmente cuando el álgebra de banach que no es un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert.

Por ejemplo, no está claro que el $\Vert A \Vert = \Vert A^*\Vert$, pero la propiedad de arriba puede ser utilizado para mostrar que:

$$\Vert A \Vert^2 = \Vert A^* A\Vert \leq \Vert A^* \Vert \Vert A \Vert, $$ thus $\Vert \Vert \leq \Vert^*\Vert$ and the opposite direction follows with $ { ^ * } ^ * = A.$

Así, se podría resumir en una muy dramático manera: La ecuación se asegura de que la involución $^*$ se comporta como uno esperaría de tomar el adjunto.