Zebra grupos y contando rayas

Question

Cuántas rayas se puede pintar en un $2$-grupo de tamaño fijo?

Un grupo de orden $2^ap^b$ es solucionable, por Burnside del teorema, por lo que su jefe factores se abelian $2$-grupos o abelian $p$-grupos. Un grupo es una cebra grupo si su jefe factores en cualquier jefe serie de alternativas entre las $2$ e las $p$. En otras palabras, si usted toma una cadena de subgrupos normales $$1 = N_1 ⊲ N_2 ⊲ \cdots ⊲ N_n = G$$ of maximal length, then the quotient groups $N_{i+1}/N_i$ alternate between being abelian $2$-groups (the stripes) and abelian $p$-grupos (en el fondo).

Si fijamos $a$, decir $a=8$, entonces, ¿cuántas rayas puede una cebra grupo?

Obviamente, no más de $8$ $2$-rayas, pero con un poco de trabajo se puede ver, que no es más que $4$ $2$-las rayas. Por desgracia, estoy teniendo problemas para llegar, incluso, $3$ rayas.

Answer 1

Dudo de 3 rayas es posible con $a=8$, aunque no he tratado de demostrarlo. El problema es que, si se construye el grupo desde la parte superior hacia abajo, luego cada nueva capa debe ser un fiel módulo para el grupo ya ha, lo que significa que las dimensiones crecen rápidamente.

El camino obvio para comenzar es un 2 en la parte superior, seguida por 3 y, a continuación,$2^2$, por lo que ahora tenemos $S_4$. El más pequeño de fieles módulo para $S_4$ sobre cualquier campo tiene dimensión 3, para que podamos poner un $3^3$ bajo $S_4$ para obtener un grupo de $G$ orden $2^33^4$. Ahora el más pequeño de fieles irreductible módulo para $G$ sobre el campo de orden 2 tiene dimensión 6 (lo hice el cálculo en el Magma, pero espero que usted puede hacerlo en la BRECHA), por lo que tenemos un grupo de orden $2^93^4$ con tres rayas, que es un subgrupo de ${\rm AGL}(6,2)$, y me sorprendería si se puede hacer mejor.

Answer 2

2 es el número máximo de bandas posible en una cebra grupo con a=8. Rayas de exigir a ≥ C⋅9^S para grandes S.

El número de rayas de una cebra grupo da a los límites en la derivada de la longitud D de una cebra grupo: 2S - 1 ≤ D ≤ 2S + 1. La acción de G/H en un factor principal de H/K debe ser irreductible y de los fieles, y por lo que G/H incrusta en GL(H/K) = GL(n,q) para q en {2,p} el primer dividiendo el fin de q^n de H/K. sin Embargo, para la gran n, la máxima derivada de la longitud de una solución subgrupo de GL(n,p) sobre log(n-2)/log(9), o en otras palabras, n ≥ 9^D. En particular, ya que S aumenta, la "a" de la 2^un p^b aumenta de forma exponencial.

Para los pequeños de n, la máxima derivada de la longitud de los solubles de los subgrupos de GL(n,2) son: 2, 3, 4, 4. La máxima derivada de la longitud de irreductible soluble en subgrupos de GL(n,2) parecen ser 2,2,3,2,6,2,5,4,4. Por lo tanto las dimensiones mínimas de derivados de longitud D=2 n=2, D=3 n=4, D=4 n=6, D=5 n=6, D=6 n=6 y D≥7 es n≥11.

La franja superior es de orden al menos 2^1. Por el momento H/K es la segunda raya, G/H, ha derivado de longitud 2, y así H/K es de orden al menos 2^2. Por el momento H/K es la tercera raya, G/H, ha derivado longitud de 4, y así H/K es de orden al menos 2^6. Desde 1+2+6 ≥ 8, esto muestra que no hay tres rayas de cebra grupo con un Sylow 2-subgrupo de orden 2^8.

Tres rayas es alcanzable en un=9. Cuatro rayas no es alcanzable para un≤14 y es alcanzable para un=27. En términos generales, a rayas de exigir a ≥ C⋅9^S (a pesar de mi prueba de necesidades S realmente grande).