Comprobación de la irreductibilidad

Question

Tengo el polinomio $f(X)=X^{2n}-2X^{n}+1-p$ donde $p$ es un número primo y $n\in\mathbb{N}$. Quiero comprobar si es irreducible o no sobre las $\mathbb{Q}[X]$.

Si $2^{2}\nmid1-p$ $f(X)$ es irreductible por el Criterio de Eisenstein. Sin embargo, yo no puedo hacer ningún progreso, cuando considero el polinomio $f(X)=X^{2n}-2X^{n}+4r, r\in\mathbb{Z}$.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Estás en lo correcto, es siempre irreductible.

Su polinomio de factores como $AB$ donde$A=X^n-(1+\sqrt{p})$$B=X^n-(1-\sqrt{p})$. Será suficiente para mostrar que $A$ (y, por tanto, $B$ también) es irreducible sobre $K={\mathbb Q}[\sqrt{p}]$.

Gracias a Karpilovsky del teorema (muchas gracias a Bill Dubeque para de citarlo aquí), por lo que será suficiente para demostrar los siguientes puntos :

(1) $c=1+\sqrt{p}$ no es un $m$-ésima potencia en $K$, para cualquier $m\geq 2$.

(2) $c$ no es de la forma$-4z^4$$z\in K$.

La prueba de (1) : supongamos $1+\sqrt{p}=(x+y\sqrt{p})^m$$x,y\in{\mathbb Q}$. A continuación, $1-p=d^m$ donde $d$ es el número racional $d=x^2-py^2$. Por lo $d$ es una raíz racional de la monic polinomio $X^m-(1-p)$, lo $d$ es un número entero. Como $1-p<0$, $d$ debe ser un número entero negativo y $m$ es impar. A continuación, $p=1-d^m$ es divisible por $1-d>0$, por lo que $1-d$ sólo puede ser $1$ (claramente imposible) o $p$. Por lo $1-d=p,d=1-p$ y por lo tanto $(1-p)^{m-1}=1$, que se produce sólo cuando se $p=2$.

Entonces tenemos $1+\sqrt{2}=(x+y\sqrt{2})^m$, $m$ extraño e $x^2-2y^2=-1$. Cada real el número tiene un único $m$-ésima raíz real, por lo $x+y\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{\frac{1}{m}}$ y, por tanto,$x-y\sqrt{2}=\frac{x^2-2y^2}{x+y\sqrt{2}}=(1-\sqrt{2})^{\frac{1}{m}}$. La adición de estas dos últimas igualdades, obtenemos

$$ x=\frac{(1+\sqrt{2})^{\frac{1}{m}}+(1-\sqrt{2})^{\frac{1}{m}}}{2} $$

A continuación, $r=2x$ es racional y una suma de dos enteros algebraicos, por lo que debe ser un entero. Ahora,

$$ r=(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{m}} \Bigg(\bigg(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\bigg)^m-1\Bigg) >0 $$

Por otro lado, $\big(\frac{3}{2}\big)^3 > \sqrt{2}+1$ rendimientos $(\sqrt{2}+1)^{\frac{1}{m}} \leq \frac{3}{2}$, y $\sqrt{2}-1 > \big(\frac{1}{2}\big)^3$ los rendimientos de $1+(\sqrt{2}-1)^{\frac{1}{m}} \geq \frac{3}{2}$. Combining the two, we obtain $r<1$. Finally $r$ es un número entero estrictamente entre el$0$$1$, lo cual es imposible.

La prueba de (2) : $1+\sqrt{p}=-4(x+y\sqrt{p})^4$ $x,y\in{\mathbb Q}$ es claramente imposible como un cuarto poder, no puede ser negativo.

Answer 2

Así, el polinomio $f(X)$ puede ser escrito como $(X^n-1)^2 - p$. Si $f(X)$ es reducible a continuación, debe existir un X tal que : $$ f(X) = (X^n-1)^2 - p = 0 $$ lo que significa que $$(X^n-1)^2 = p$$ Es necesario que se deduce que $(X^n-1)^2 ∈ N$ ergo $X^{n}-1$ es un número natural, lo que implica que $X ∈ N$ ... lamentablemente no existe ningún número primo que también es un número cuadrado, de lo contrario sería tener al menos 1 más divisor distinto de sí mismo y 1...por lo que el polinomio $f(X)$ es irreductible para cualquier $X ∈ Q.$