¿Cómo hace uno para mostrar el pecado(x) es acotada, utilizando el poder de la serie?

Question

Definir la función con valores reales $$ \sin:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \qquad given ~~by \qquad \sin(x) := x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots $$

¿Cómo hace uno para mostrar $\sin(x)$ limita el uso de esta definición? Tenga en cuenta que no está permitido usar el poder de la serie de $\cos(x)$ y tratar de mostrar a $\sin^2(x) + \cos^2(x) =1$ y luego de probar que son acotados. Quiero una prueba directa, utilizando el poder de la serie de $\sin(x)$.

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Comentario: estoy buscando una prueba de que me va a permitir modificar/imitar los argumentos si me dan algunas de alimentación DIFERENTE de la serie que también pasa a ser limitados (pero que no tiene todas las propiedades atractivas de pecado(x) y cos(x) ). Que es la motivación de la pregunta. Tomar el poder de la serie de $\exp(-x^2)$ por ejemplo. ¿Por qué es que delimitadas?

Answer 1

El coeficiente de $x^n$$\frac{i^n+(-i)^n}{2n!}$. (Realmente no necesitamos números complejos aquí, pero eso es una manera conveniente de explcitly describir el coeficiente)

Prohibir lo prohibido trucos, demos simplemente no utilizar derivados a todos!!!!

Tenemos $$ \sin 1 = 1-\frac1{3!}+\frac1{5!}\mp\ldots>1-\frac1{3!}=\frac56$$ debido a que los sumandos son la disminución en valor absoluto. Y $$\sin 4 =4-\frac{4^3}{3!}+\frac{4^5}{5!}\mp\ldots<4-\frac{4^3}{3!}+\frac{4^5}{5!}-\frac{4^7}{7!}+\frac{4^9}{9!}= -\frac{268}{405}$$ sino porque todos los primeros sumandos son la disminución en valor absoluto. Por la continuidad, existe un número$\pi\in(1,4)$$\sin\pi=0$. Entonces (convergencia absoluta justifica la suma de intercambio) $$\begin{align}\sin(x+\pi)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n+(-i)^n}{2n!}(x+\pi)^n\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{i^n+(-i)^n}{2n!}\frac{n!}{k!(n-k)!}x^k\pi^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\sum_{n=k}^\infty\frac{i^n+(-i)^n}{2(n-k)!}\pi^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\sum_{m=0}^\infty\frac{i^{m+k}+(-i)^{m+k}}{2m!}\pi^m\\ \end{align}$$ Si $k\equiv0\pmod 4$, el interior de la serie es $\sin\pi=0$. Si $k\equiv 2\pmod 4$$-\sin\pi=0$. Si $k\equiv 1\pmod 4$$c$, y si $k\equiv 3\pmod 4$ $-c$ donde $c:=\sum_{m=0}^\infty\frac{i^{m+1}+(-i)^{m+1}}{2m!}\pi^m$. Llegamos a la conclusión de que $$ \sin(x+\pi)=c\sin x.$$ Directamente de la serie, podemos ver que $\sin$ es impar, es decir,$\sin(-x)=-\sin x$. Por lo tanto $$\sin(x-\pi)=-\sin(-x+\pi)=-c \sin(-x)=c\sin x$$ y ultimatley $$\sin x=\sin(x+\pi-\pi)=c^2\sin x$$ para todos los $x$. Luego de $\sin(x+2\pi)=c\sin(x+\pi)=c^2\sin x=\sin x$, podemos ver que $\sin$ es un periódico continuo de la función, por lo tanto limitada.

(Obviamente, esto no puede ser ampliado a $e^{-x^2}$ en cualquier forma)

Answer 2

Con el poder de la serie, es obvio que: $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,$$ por lo tanto, de: $$ \frac{d}{dx}(\sin^2(x)+\cos^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)=\color{red}{0} $$ de ello se desprende que $\sin^2 x+\cos^2 x$ es constante e igual a $\sin^2 0+\cos^2 0 = 1$.

Así que ni $\sin x$ o $\cos x$ puede exceder $1$ en valor absoluto.

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Como un enfoque alternativo, aviso que el De Moivre de la identidad: $$\cos x + i\sin x = e^{ix}$$ puede ser probado a través de una serie de identidades, por lo tanto: $$\sin x = \Im\left(e^{ix}\right)$$ le da a ese $\sin x$ $2\pi$- función periódica. Desde $\sin x$ es obviamente limitado en $[0,2\pi]$ como un continuo de la función, $\sin x$ está delimitada en toda la recta real.

Answer 3

Termwise diferenciación de la muestra que $\sin$ satisface el segundo orden de la ecuación diferencial $$\sin''(x)=-\sin (x)\qquad(x\in{\mathbb R})\ .$$ Al $0< x\leq2$ la descuidado términos de $$\sin'(x)=1-{x^2\over2}+{x^4\over24}-\ldots$$ la disminución en valor absoluto. De ello se sigue que $$\sin'(0)=1,\qquad \sin'(2)<1-{4\over2}+{16\over 24}=-{1\over3}<0\ .$$ Por lo tanto, no existe un $\sigma\in\ ]0,2[\ $$\sin'(\sigma)=0$.

Consideremos ahora la función auxiliar $$u(t):=\sin(\sigma+t)-\sin(\sigma-t)\ .$$ Uno ha $u(0)=u'(0)=0$, e $$u''(t)=\sin''(\sigma+t)-\sin''(\sigma-t)=-u(t)\qquad(t\in{\mathbb R})\ ,$$ lo que implica $u(t)\equiv0$ por el teorema de unicidad para IVPs. Esto le da $$\sin(2\sigma)=u(\sigma)+\sin(0)=0\tag{1}$$ y $$\sin'(2\sigma)=u'(\sigma)-\sin'(0)=-1\ .\tag{2}$$ De $(1)$ $(2)$ uno llega a la conclusión de que el auxiliar de la función $$v(t):=\sin t+\sin(2\sigma+t)$$ es la solución de la PIV $$v(t)+v''(t)=0, \qquad v(0)=v'(0)=0\ ,$$ y por lo tanto desaparece de forma idéntica. Esto demuestra que $$\sin(t+2\sigma)=-\sin(t)\qquad(t\in{\mathbb R})\ ,$$ de la que podemos deducir $\sin$ periodo $4\sigma$, y que $$|\sin x|\leq M:=\max_{0\leq t\leq\sigma}|\sin t|\qquad(x\in{\mathbb R})\ .$$

Answer 4

(Respuesta anterior fue eliminado)

Supongo que el "general" de la forma en que debe ser a través de la ecuación diferencial que el poder de la serie satisface.

Por ejemplo, si $f(x) = \sin x$, obtenemos $f'' + f = 0$ y luego llegamos $(f^2 + f'^2)'(x) = 0$.

Si $f(x) = e^{-x^2}$, obtenemos $f'(x)+2xf(x) = 0$(de la corriente de la serie de la presentación) y $f(0) = 1$. A continuación, la observación de que $f'(x) = -2xf(x)$, dibujar una gráfica que comienzan con $x=0$ y se extienden a ambos lados, usted puede ver fácilmente la gráfica es(en un intervalo que contiene a 0 por el momento) la disminución de $x>0$ y el aumento de $x<0$ y en el gráfico que nunca puede cruzar la línea de $y = 0$, debido a que para $x >0$, $f'(x)$ y $f(x)$ tienen diferente signo y para $x<0$, $f'(x)$ y $f(x)$ tienen el mismo signo.

Supongo que no se puede obtener un truco que funciona para todos los tipos de educación a distancia. Tal vez hay algunos más general de los métodos en la educación a distancia de la literatura para identificar delimitada solución, tales como los criterios para la detección de la solución de la periodicidad. Sé casi nada sobre eso