¿Es algebraico el número 0,2468101214 ...? (Después del punto, los números naturales son pares yuxtapuestos).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, este número es trascendental. La prueba de Mahler mencionada en un comentario lo demuestra.
Una buena referencia para conocer la teoría básica de los números trascendentales es el libro "Making transcendence transparent: an intuitive approach to classical transcendental number theory", de Edward Burger y Robert Tubbs, Springer-Verlag (2004).
En el capítulo 1 del libro la prueba de la trascendencia de la constante de Mahler $0.1234\dots$ se discute. La idea es mostrar que las aproximaciones racionales "obvias" son en realidad muy muy cercanas, hasta el punto de que contradecirían las estimaciones fáciles (debidas a Liouville) sobre la rapidez con la que los números racionales pueden aproximarse a los números algebraicos irracionales. La entrada de Wikipedia sobre Números de Liouville discute el teorema de aproximación de Liouville y los resultados relacionados:
Si $\alpha$ es algebraico de grado $d\ge 2$ entonces hay una constante $C$ tal que para cualquier racional $p/q$ con $q>0$ tenemos $$ \left|\alpha-\frac pq\right|>\frac{C}{q^d}. $$
En realidad, aquí hay que trabajar un poco. Las estimaciones que el libro discute junto con un fortalecimiento de del teorema de Liouville dan la prueba para la constante de Mahler, y el mismo argumento funciona para el número que preguntas.
El fortalecimiento de que necesitamos se debe a Klaus Roth en 1955, y se le concedió la medalla Fields en 1958 por este resultado.
