Probabilidad de que la suma de sacar un 6 colindado mueren 10 veces es divisible por 10?

Question

He aquí una pregunta que me he estado considerando: Supongamos que se lanza un habitual de 6 caras morir 10 veces y resumir los resultados de tus rollos. ¿Cuál es la probabilidad de que es divisible por 10?

Me las he arreglado para resolver de una forma un tanto feo de la moda mediante la siguiente generación de la serie: $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^{10} = x^{10}(x^6 - 1)(1+x+x^2+\cdots)^{10}$ , lo que hace que la búsqueda de la probabilidad de algo factible si yo tengo una calculadora o un montón de tiempo libre para evaluar binomios.

Lo interesante es que aunque la probabilidad termina siendo un poco menos de $\frac{1}{10}$ (de hecho, se trata de 0.099748). Si en lugar de eso, me tira el dado de $n$ veces y encontrar si la suma es divisible por $n$, la probabilidad se aproxima bien por $\frac{1}{n} - \epsilon$.

¿Alguien sabe cómo puedo encontrar el "error" plazo $\epsilon$ en términos de $n$?

Answer 1

Definir $$ \begin{align} P_n(x) &=\left(\frac{x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6}{6}\right)^n\\ &=\sum_{j=n}^{6n}a_j\,x^j\tag{1} \end{align} $$ La probabilidad de que la suma, al rodar una $6$colindado mueren $n$ a veces, es divisible por $n$ es la suma de los $a_k$ donde $k$ es un múltiplo de a $n$. Para encontrar la suma de los coeficientes, vamos a calcular $$ \begin{align} \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}P(e^{i2\pi k/n}) &=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=n}^{6n}a_k\,e^{i2\pi jk/n}\\ &=\sum_{j=n}^{6n}a_j\left(\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}e^{i2\pi jk/n}\right)\tag{2} \end{align} $$ porque $$ \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}e^{i2\pi jk/n}=\left\{\begin{array}{}1&\text{if }n\,\vert \,j\\0&\text{if }n\!\!\not{\vert}\,j\end{array}\right.\la etiqueta{3} $$ Tenga en cuenta que $$ P_n(x)=\left(\frac16\frac{x^7-x}{x-1}\right)^n\etiqueta{4} $$ así que cuando nos pusimos $x=e^{i2\pi k/n}$, obtenemos $$ \begin{align} P_n(e^{i2\pi k/n}) &=\left(\frac16\frac{\sin(6\pi k/n)}{\sin(\pi k/n)}e^{i7\pi k/n}\right)^n\\ &=(-1)^k\left(\frac{\sin(6\pi k/n)}{6\sin(\pi k/n)}\right)^n\tag{5} \end{align} $$ Por lo tanto, la probabilidad de que la suma, al rodar una $6$colindado mueren $n$ a veces, es divisible por $n$ es $$ \begin{align} \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}P_n(e^{i2\pi k/n}) &=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\left(\frac{\sin(6\pi k/n)}{6\sin(\pi k/n)}\right)^n\\ &=\frac1n+\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\left(\frac{\sin(6\pi k/n)}{6\sin(\pi k/n)}\right)^n\tag{6} \end{align} $$ Para grandes $n$, $\left(\dfrac{\sin(6\pi k/n)}{6\sin(\pi k/n)}\right)^n$ está muy cerca de a $1$ para una amplia gama de $k$, así que no veo una manera de obtener una estimación simple para el error, pero el error se da exactamente por $$ \frac1n\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\left(\frac{\sin(6\pi k/n)}{6\sin(\pi k/n)}\right)^n\etiqueta{7} $$ Mirando a $(7)$, es evidente por qué, para $n\in\{1,2,3,6\}$, $\frac1n$ es exacto, como Henry señala en su respuesta (Sugerencia: considere la posibilidad de $\sin(6\pi k/n)$).

Answer 2

Una forma sería la de calcular: no es difícil de usar una hoja de cálculo y la recursividad, y un pedazo corto de R código se muestra a continuación.

$\epsilon$ parece ser cero para $n=1,2,3$, a ser positivos $\frac{1}{648}$$n=4$, negativo $- \frac{1}{9270}$ $n=5$ cero para $n=6$, y, a continuación, ser positivo y el aumento de hasta un máximo de alrededor de $0.01223$ $n=52$ después de lo cual comienza a disminuir.

Más seriamente $\frac{1}{n}$ pronto se convierte en una aproximación muy pobre si la suma es divisible por $n$. Para $n \gt 43$ es más de dos veces el valor real y luego se empeora rápidamente. Existe una alternativa mejor.

Agregó

Una mejor aproximación para un gran $n$ sería asumir el teorema central del límite se aplica bastante bien el trabajo y la probabilidad de alcanzar $3$ multiplicado por el número de rollos o $4$ multiplicado por el número de rollos ($1$, $2$, $5$, y $6$ multiplicado por el número de rollos son demasiado raro para ser vale la pena preocuparse). Estos son la mitad de la cantidad de rollos de distancia de la media y la varianza es $\frac{35}{12}$ multiplicado por el número de rollos. Por lo que una posible aproximación de la probabilidad es necesario

$$\sqrt{ \frac{24}{35 \pi n} } \exp\left( - \frac{3 n}{70} \right).$$

It is a good approximation for a wide range of values as shown in the chart drawn by the following R code which calculates the actual values. It is a better approximation than $\frac{1}{n}$ for $n \ge 14$.

maxrolls <- 1000
probmultofrolls <- rep(0,maxrolls)
rolls <- 1:maxrolls
probs <- 1 # after 0 rolls score is zero with probability 1
for (r in rolls) {
    probs <- (c(0,probs) + c(0,0,probs) + c(0,0,0,probs) + c(0,0,0,0,probs) + 
              c(0,0,0,0,0,probs) + c(0,0,0,0,0,0,probs) ) / 6
    probmultofrolls[r] <- sum( probs[r * (1:6) + 1] ) # +1 because started at 0
   }     
plot(  probmultofrolls ~ rolls, log="xy" )
lines( 1/rolls ~ rolls, col="blue" )
lines( exp( -3*rolls/70) * sqrt(24 / (35 * pi * rolls) ) ~  rolls, col="red" ) 

which produces the following chart with logarithmic scales and $1 \le n \le un 1000$: black circles are the actual values; the blue line is $\frac{1}{n}$; and the red line is the approximation based on the central limit theorem.

Even this may not hold for even larger $n$, since the central limit theorem is often not a good approximation in the extreme tails of a distribution. It is within 5% of the true figure when $9 \le n \le 191$.

Answer 3

La distribución de la suma converge a la distribución normal con la velocidad (si mal no recuerdo) de $n^{-1/2}$ y que el término de error podría ser que domina otros términos (ya que usted tiene sólo número constante (=seis) de las muestras de resultado de la distribución). Sin embargo, hay un pequeño problema: la probabilidad de que su suma sea divisible por $n$ tiende a $0$ con velocidad de $n^{-1}$. Aún así, he escrito algo en Mathematica y esto es lo que tengo:

In[1]:= 
    X := Sum[
         Erfc[(6*Sqrt[2]*(7n/2 - k*n+1))/(35n)]/2
        -Erfc[(6*Sqrt[2]*(7n/2 - k*n))/(35n)]/2, 
         {k, {1,2,3,4,5,6}}
    ]
In[2]:= Limit[X, n -> Infinity]
Out[2]= 0
In[3]:= N[Limit[X*n, n -> Infinity]]
Out[3]= -0.698703
In[4]:= N[Limit[(X+1/n)*n, n -> Infinity]]
Out[4]= 0.301297

El Erfc es la función de probabilidad acumulativa de una distribución normal, la fórmula en el interior es ajustar para la media y la variación. $X$ debe ser la aproximación de lo que usted está buscando. Lo que se muestra (In[3] y In[4]) es que hay una errata en mi fórmula o esto no convergen a lo que usted piensa que debería (en el hecho de que puede ser cierto (no estoy seguro), es decir, en cada una sexta parte que está siempre fuera de centro (o donde sea que la media de la parte de valor es) por la constante de margen). Espero que esto te ayuda ;-)