¿Qué es $\int\frac{dx}{\sin x}$?

Question

Estoy buscando el antiderivatives de $1/\sin x$. Hay incluso una forma cerrada de la antiderivatives? Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Escribo esto como $$\int \frac{\sin (x)}{\sin^2 (x)} dx=\int \frac{\sin (x)}{1-\cos^2(x)} dx.$$ Now let $u=\cos(x)$, and use the fact that $$\frac{1}{1-u^2}=\frac{1}{2(1+u)}+\frac{1}{2(1-u)}.$$

Añadido: quiero dar crédito a mi amigo Fernando, que me enseñó este enfoque.

Answer 2

Deje $R(u,v)$ ser una función racional de $u$$v$, es decir, un cociente de polinomios. Deje $f(x)=R(\sin x, \cos x)$. Entonces no hay un método universal para el cálculo de $\int f(x)\,dx$, es decir, la sustitución de Weierstrass $t=\tan(x/2)$.

Esta sustitución se reduce el problema de la integración de $f(x)$ a el problema de la integración de una función racional de $t$. Esto puede ser manejado por el método de fracciones parciales.

Universal no significa universalmente más eficiente. No se aconseja la sustitución de Weierstrass para la integración de $\cos x$!

Vamos a ver lo que pasa aquí. Deje $t=\tan(x/2)$. Es estándar (ver el enlace de arriba) que $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$$dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$. De ello se sigue que $$\frac{dx}{\sin x}=\frac{dt}{t}=\ln(|t|)+C.$$

Answer 3

Como $\sin 2y=\frac{2\tan y}{1+\tan^2y}=\frac{2\tan y}{\sec^2y}$

$$\int\frac{dx}{\sin x}=\int \frac{(\sec^2\frac x2) dx}{2\tan \frac x2}=\ln\left| \tan \frac x2\right|+C$$ putting $\tan \frac x2=z\implica \frac12 \s^2\frac x2 dx=dz$ where $C$ es la arbitrariedad de la constante por la integral indefinida