Las isometrías preservan las geodésicas

Question

Dejemos que $f$ sea una isometría ( es decir un difeomorfismo que preserva la métrica de Riemann) entre variedades de Riemann $(M,g)$ y $(N,h).$

Se puede argumentar que $f$ también preserva la métrica inducida $d_1, d_2$ en $M, N$ de $g, h$ es decir, $d_1(x,y)=d_2(f(x),f(y))$ para $x,y \in M.$ Entonces, es fácil demostrar que $f$ envía geodésicas en $M$ a las geodésicas en $N,$ utilizando la propiedad de minimización de la longitud de las geodésicas y que $f$ es preservador de la distancia.

Mi pregunta,

¿Es posible derivar el resultado sin utilizar la propiedad de preservación de distancia de las isometrías, por la mera definición?

Lo que he encontrado hasta ahora;

Dejemos que $\gamma : I \to M$ sea una geodésica en $M$ es decir $\frac{D}{dt}(\frac{d\gamma}{dt})=0,$ donde $\frac{D}{dt}$ es la derivada covariante y $\frac{d\gamma}{dt}:=d\gamma(\frac{d}{dt}).$ Dejemos que $t_0 \in I,$ tenemos que demostrar que $\frac{D}{dt}(\frac{d(f \circ \gamma)}{dt})=0$ en $t=t_0,$ o $\frac{D}{dt}(df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}))=0.$

También sabemos que

$$\langle \frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0},\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}\rangle_{\gamma(t_0)}= \langle df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}), df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0})\rangle_{f(\gamma(t_0))}.$$

Desde $\frac{d}{dt} \langle \frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0},\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}\rangle_{\gamma(t_0)}=2 \langle \frac{D}{dt}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}),\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}\rangle_{\gamma(t_0)}=0,$ por lo tanto

$$\frac{d}{dt} \langle df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}), df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0})\rangle_{f(\gamma(t_0))}=$$

$$2\langle \frac{D}{dt}(df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0})), df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0})\rangle _{f(\gamma(t_0))}=0.$$

¿Cómo puedo concluir de $\langle\frac{D}{dt}(df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0})), df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}) \rangle _{f(\gamma(t_0))}=0$ que $\frac{D}{dt}(df_{\gamma(t_0)}(\frac{d \gamma}{dt}|_{t=t_0}))=0?$

Answer 1

Tu cálculo parece un intento de demostrar la naturalidad de la conexión Levi-Civita, hecho que @Zhen Lin señala implícitamente. En la configuración de la pregunta se puede plantear como $$\nabla^g_X{Y}=f^* \left( \nabla^{(f^{-1})^* g}_{\operatorname{d}f(X)} \operatorname{d}f(Y) \right)$$

Obsérvese también que, de hecho, se están utilizando dos conexiones diferentes: una para los campos vectoriales a lo largo de $\gamma \colon I \rightarrow M$ inducido por $\nabla^g$ en $M$ y otro para campos vectoriales a lo largo de $f \circ \gamma \colon I \rightarrow N$ inducido por $\nabla^h$ en $N$ . Debido a la propiedad de naturalidad coinciden, y puede ser útil distinguir $D^g_t:=\nabla^g_{\frac{d}{dt}{\gamma}}$ y $D^h_t:=\nabla^h_{\frac{d}{dt}(f \circ \gamma)}$ en el presente cálculo. De hecho, utilizando $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}(f\circ \gamma)=\operatorname{d}f(\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\gamma)$$ obtenemos $$D^h_t{\frac{\operatorname{d}(f\circ\gamma)}{\operatorname{d}t}} = f_* \left( D^g_t{\frac{\operatorname{d}\gamma}{\operatorname{d}t}} \right) =0$$