Si la suma de los 4 términos de una progresión geométrica es de 15 y la suma de los infinitos términos es el 16 de encontrar los posibles valores de la razón común.

Question

No puedo encontrar una manera de obtener una respuesta para esto. He intentado usar la fórmula para la suma de los infinitos términos y dividiéndolo por la suma de los 4 términos, pero no puedo conseguir que funcione.

Answer 1

Deje que la secuencia tiene plazo inicial $a_1$ y la razón común $r$. A continuación,$a_k = a_1r^{k - 1}$. La suma de los n primeros términos de la serie geométrica es $$\sum_{k = 1}^{n} a_1r^{k - 1} = a_1(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n - 1}) = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}$$ siempre que $r \neq 1$. Si $r = 1$, entonces la serie no converge a menos $a_1 = 0$, lo que no puede ser el caso aquí, ya que la suma de la serie no es igual a cero. Ya que la suma de los cuatro primeros términos es $15$, tenemos $$a_1 \frac{1 - r^4}{1 - r} = 15 \tag{1}$$ Si la serie converge, entonces su límite es $$\sum_{k = 1}^{\infty} a_1r^{k - 1} = \frac{a_1}{1 - r}$$ Desde que la serie tiene suma $16$, tenemos $$\frac{a_1}{1 - r} = 16 \tag{2}$$ Dividiendo la ecuación 1 ecuación 2 rendimientos $$1 - r^4 = \frac{15}{16}$$ La solución para $r$ rendimientos \begin{align*} 1 - \frac{15}{16} & = r^4\\ \frac{1}{16} & = r^4\\ \pm \frac{1}{2} & = r \end{align*}

De verificación: Sustituyendo $r = 1/2$ en la ecuación 1 rendimientos de los \begin{align*} a_1 \cdot \frac{1 - \frac{1}{16}}{1 - \frac{1}{2}} & = 15\\ a_1 \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} & = 15\\ a_1 \cdot \frac{15}{8} & = 15\\ a_1 & = 8 \end{align*} Sustituyendo $a_1 = 8$ $r = 1/2$ en la ecuación 2 rendimientos $$\frac{a_1}{1 - r} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$$

Si $r = -1/2$, luego \begin{align*} a_1 \cdot \frac{1 - \frac{1}{16}}{1 + \frac{1}{2}} & = 15\\ a_1 \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}} & = 15\\ a_1 \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3} & = 15\\ a_1 \cdot \frac{5}{8} & = 15\\ a_1 & = 24 \end{align*} Sustituyendo $a_1 = 24$ $r = -1/2$ en la ecuación 2 rendimientos $$\frac{24}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{24}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$$ Así, tanto el $r = 1/2$ $r = -1/2$ satisface las condiciones dadas.

Answer 2

Por qué no funciona?

$a_1\frac{1-r^4}{1-r} = 15$ $a_1\frac{1}{1-r} = 16$ , lo $1-r^4 = \frac{15}{16}$, dando $r^4 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$. Por lo $r = \pm\frac{1}{2}$.

Answer 3

Ha $a + ax + ax^2 + ax^3 = 15$ $\frac{a}{1-x} = 16$ (tomando $|x| < 1$. Esto le da a $a = 16 (1-x)$. Sustituto de $a$, dando $16 (1-x) (1 + x + x^2 + x^3) = 15$. A continuación encontrará $1 - x^4 = \frac{15}{16}$ dar $x^4 = \frac{1}{16}$$x = \frac{1}{2}$, de modo que $a = 8$.