Este cociente espacio es homeomórficos a la cinta de Moebius?

Question

Deje $G:\mathbb R \times [-1,1]\to \mathbb R \times [-1,1]$ ser un mapa definido por $G(x,y)=(x+1,-y)$

Este espacio $Q=\mathbb R\times [-1,1]/\sim$ donde $(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)$ si y sólo si no es $n\in \mathbb Z$ tal que $G^n(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$ es homeomórficos a la cinta de Moebius? Estoy tratando de ver esto intuitivamente, sin éxito. Alguien tiene una idea de por qué estos espacios son "iguales"?

Gracias

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Tras los comentarios, El único mapa que puedo imaginar de la cinta de Moebius es el que envíe un punto de $(x,y)$ en la cinta de Moebius en $(x,y)$$Q$. Ver la foto de abajo:

Answer 1

Voy a tratar de responder a la intuición de la parte. Sabe usted cómo una cinta de Moebius trabaja con un pedazo de papel, ¿verdad?

Visualizar $\mathbb{R}\times [-1,1]$. Esta es toda la recta real en el $x$-de la dirección, y el intervalo de $[-1,1]$.

Ahora, ¿qué partes de esta no $\sim$ dicen que son el mismo? Al $y=0$ cada $x$ es igual a todas las $x+n$ cualquier $n\in \mathbb{N}$. Ahora, subir un poco en la $y$-dirección, para algunos $a\in (0,1)$. Ahora cualquier $(x,a)$ se identifica con $(x+1,-a)$. Por lo tanto, si usted acaba de ver el$A_1:=[-1,0]\times [-1,1]$$A_2:=[0,1]\times [-1,1]$, se puede ver que la parte superior de $A_1$ se identifica con la parte inferior de $A_2$.

De hecho, todos los $(x,y)$ se identifica con $(x+1,-y)$, $(x+2,y)$, $(x+3,-y)$, etc. La parte superior de cada intervalo se identifica con la parte inferior de su sucesor. Podemos avanzar por un camino como este a través de los puntos que más tarde serán identificados el uno con el otro - en el cociente, que acaba de estar pasando por el mismo intervalo de tiempo el camino más y más.

Antes de tomar el cociente, en el camino que va a través de las copas de los intervalos y el camino que va a través de la parte superior de los intervalos impares son diferentes.

Aquí podemos ver cómo el papel cinta de Moebius corresponde a la matemática; antes de girar y pegamento, que comienza con dos lados. (EDIT: no se deje engañar por los extremos de mis notas adhesivas; de esta franja se supone que un intervalo de tiempo.)

Una vez que el cociente por $\sim$, podemos tirar de estos puntos identificados de acuerdo a la orientación dada por esta relación de equivalencia. El rojo y el verde rutas de mostrar cómo la orientación de la gira' al final de cada intervalo. Nos quedamos con la cinta de Moebius.

Answer 2

En primer lugar, demostrar por inducción que $G^n(x,y)=(x+n,(-1)^ny)$$n\geq 0$. De la misma manera para $n<0$ muy directamente.

Vamos a distinguir $\sim_1$ como la equivalencia en $\mathbb R\times[-1,1]$ definido anteriormente, y $\sim_2$ como la relación de equivalencia en $[0,1]\times[-1,1]$.

Ahora, obviamente, $[0,1]\times[-1,1]\subset \mathbb R\times [-1,1]$. Así que hay una inclusión natural mapa de $i:[0,1]\times[-1,1]\to\mathbb R\times[-1,1]$.

Primero probar que $i(x,y)\sim_1 i(x',y')$ si y sólo si $(x,y)\sim_2(x',y')$ todos los $(x,y),(x',y')\in[0,1]\times [-1,1]$.

Demostrar que induce una continua mapa: $$f:[0,1]\times[-1,1]/\sim_2\to \mathbb R\times [-1,1]\sim_1$$

"Sólo si" parte del "si y sólo si" demuestra que el $f$$1-1$. Muestran también que $f$ es sobre.

Todo esto se desprende directamente de las definiciones.

La parte difícil es demostrar que la inversa es continua.