Invertibility de los elementos de una izquierda Noetherian anillo

Question

Deje $A$ ser una izquierda Noetherian anillo. ¿Cómo puedo demostrar que todo elemento de a$a\in A$, que está a la izquierda invertible es en realidad dos caras invertible?

Answer 1

Recordar que tenemos un isomorfismo $A^\text{op} \to \operatorname{End}_A(A)$ mediante el envío de $a$ para el endomorfismo $x \mapsto xa$. Aquí $A^\text{op}$ es el opuesto del anillo. Si $a$ invertible, entonces la correspondiente endomorfismo $f$ es surjective, y si podemos demostrar que $f$ es inyectiva, a continuación, $f$ es invertible en a $\operatorname{End}_A(A)$, de donde $a$ es invertible en tanto $A^\text{op}$$A$.

No es más difícil de probar una declaración más general: Si un endomorfismo de un Noetherian módulo es surjective, entonces es un isomorfismo.

Aquí están algunas ideas para ello. Si $g$ es un endomorfismo, a continuación, el aumento de la secuencia de submódulos $\{\operatorname{Ker}(g^n)\}$ debe estabilizarse. El uso de esta y el hecho de que cada una de las $g^n$ es surjective para mostrar que el núcleo es trivial.