Demostrar que $\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\rceil$ es divisible por $2^{n+1}$.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Demostrar que $\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\rceil$ es divisible por $2^{n+1}$.

He intentado reescribir $\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\rceil$ $m*2^{n+1}$ para algunos m, pero no podía llegar a ninguna parte.

Answer 1

Deje $(1+\sqrt{3})^{2n}=a_n+b_n\sqrt{3}$. A continuación,$(1-\sqrt{3})^{2n}=a_n-b_n\sqrt{3}$.

Por lo tanto $(1+\sqrt{3})^{2n}+(1-\sqrt{3})^{2n}$ es el entero $2a_n$. Desde $|1-\sqrt{3}|\lt 1$, tenemos $$2a_n=\left\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\right\rceil.$$

Tenga en cuenta que $$(1+\sqrt{3})^{2n+2}=(1+\sqrt{3})^{2n}(4+2\sqrt{3})=(a_n+b_n\sqrt{3})(4+2\sqrt{3}).$$ Mus $$a_{n+1}=4a_n+6b_n \quad\text{and}\quad b_{n+1}=2a_n+4b_n.$$

Por lo tanto el mayor poder de $2$ que divide $2a_k$ se incrementa en al menos $1$ cuando incrementamos $k$. Pero $2a_0=2$. Esto completa la prueba.

Observación: Siempre que $a+b\sqrt{c}$ tiene un problema, donde $a$ $b$ $c$ son enteros, y $c$ no es un cuadrado perfecto, su conjugado $a-b\sqrt{c}$ es probable que sea de ayuda.

Answer 2

Sugerencia: El valor es igual a $( \sqrt{3} + 1)^{2n} + (\sqrt{3}-1 )^{2n}$

Sugerencia: la Expansión de la plaza, llegamos $ (4 + 2\sqrt{3})^n + (4-2\sqrt{3})^n$

Este término es claramente un múltiplo de $2^n$, que podemos factor.

Sugerencia: $(2 + \sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$ es aún, por el Teorema del Binomio de expansión.

Answer 3

Una sucesión de consejos:

1. Mostrar que $a_n=(\sqrt{3}+1)^{n}+(1-\sqrt{3})^{n}$ es un número entero
2. Mostrar que $\lceil(\sqrt{3}+1)^{2n}\rceil = (\sqrt{3}+1)^{2n}+(1-\sqrt{3})^{2n} (=a_{2n})$ (tenga en cuenta que el último término es positiva, ya que se está elevado a una potencia par, y que $|1-\sqrt{3}|\lt 1$).
3. Mostrar que la secuencia de $a_n=(\sqrt{3}+1)^{n}+(1-\sqrt{3})^{n}$ satisface la relación de recurrencia $a_{n+2} = 2a_{n+1}+2a_n$, con adecuadas condiciones iniciales. (Esto es en realidad más fácil de hacer en la otra dirección - buscar en la teoría lineal de relaciones de recurrencia para obtener más detalles. Esta relacionado con la fórmula de Binet de los números de Fibonacci.)
4. Demostrar por inducción mediante la recurrencia de la relación que los sucesivos $a_n$ son divisibles por más y más alto potencias de 2.