Tabla de multiplicar de grupo

Question

Actualmente estoy tratando de aprender álgebra abstracta por mi cuenta, y lo siguiente es una cita del libro que estoy utilizando: "Un conjunto de ecuaciones, que involucra únicamente a los generadores y sus inversos, se llama un conjunto de ecuaciones definitorias para $G$ si estas ecuaciones determinan completamente la tabla de multiplicación de $G$".

Luego, el libro procede a dar un ejemplo: "Sea $G$ el grupo $\{e, a, b, b^{2}, ab, ab^{2} \}$ cuyos generadores $a$ y $b$ satisfacen las ecuaciones $a^{2} = e$, $b^{3} = e$, y $ba = ab^{2}". Y afirma que las tres ecuaciones determinan la tabla de multiplicación de $G$.

Así que trabajé en la tabla de multiplicación y la mostré abajo.

• Cuando dicen, "determinar completamente la tabla de multiplicación de $G$," ¿significa que el producto de dos elementos puede ser simplificado a otro elemento? Por ejemplo, $(ab^{2})(ab^{2}) = ab(ba)bb = ab(ab^{2})b^{2} = abab(b^{3}) = a(ba)b = a(ab^{2})b = aab^{3} = e.

• Tampoco entiendo cómo se utilizan los inversos para determinar la tabla de multiplicación en este caso. Solo he usado la sustitución en este caso. ¿Puede alguien explicar por qué los inversos podrían ser importantes?

• ¿Cómo sabía el autor que solo con 3 ecuaciones era suficiente para determinar la tabla de multiplicación? ¿Y por qué eligió esas ecuaciones?

• Además, ¿cuál es la importancia de determinar una tabla de multiplicación para los elementos de un grupo?

Tabla de Multiplicación de G

           ___________________________________________
          |  e      a      b      b^2    ab     ab^2  |
  .-------+-------------------------------------------+
  |  e    |  e      a      b      b^2    ab     ab^2  |
  |  a    |  a      e      ab     ab^2   b      b^2   |
  |  b    |  b      ab^2   b^2    e      a      ab    |
  |  b^2  |  b^2    ab     e      b      ab^2   a     |
  |  ab   |  ab     b^2    ab^2   a      e      b     |
  |  ab^2 |  ab^2   b      a      ab     b^2    e     |
  '-------+-------------------------------------------'

Answer 1

Dato curioso: ¡en 1992 Ales Drápal demostró que si dos grupos finitos coinciden en un 89% en sus tablas de multiplicar, los grupos deben ser isomórficos! Conjeturó que lo mismo ocurre si las tablas coinciden en el 75% de sus entradas. La conjetura aún no ha sido demostrada. Ver también Grupos St. Andrews 2001 en Oxford, presentando el trabajo de Drápal Sobre la distancia de 2-grupos y 3-grupos.

Answer 2

1. "Completamente determinar" significa dos cosas simultáneamente. En primer lugar, "determinar" aquí significa que cada entrada en la tabla de multiplicar puede ser completada por uno de esos seis elementos, que es básicamente lo que dijiste. En segundo lugar, "completamente" significa que no hay ambigüedad: algunas entradas en la tabla de multiplicar pueden ser resueltas de diferentes maneras, y no importa cuántas formas diferentes intentes trabajar en una entrada dada, obtendrás lo mismo.

2. Es completamente concebible que te enfrentes a una ecuación como $ab^{-1} = cd^{-1}$. No importa cuánto intentes deshacerte de los inversos, no puedes.

3. El autor lo sabía porque este es un grupo muy estándar llamado $D_6$ (a veces llamado $D_3$). También lo sabrás una vez que te encuentres con los grupos diedrales. Pero esa no es una respuesta adecuada. Otra forma de motivar esto: nota que cada elemento que afirma pertenece a ese conjunto de seis elementos es de la forma $a^ib^j$, donde $i$ es 0 o 1 y $j$ es 0, 1 o 2. Pero ¿qué pasa con $ba$, u otras cosas que no encajan en esta forma? Nuestros axiomas grupales nos dicen que, dado que tenemos un elemento $b$ y un elemento $a$, deberíamos poder multiplicarlos. Así que necesitamos saber qué hacer cuando tenemos algo de la forma "incorrecta". Y estas formas incorrectas se pueden dividir en tres tipos:

   • $a^i$ donde $i > 1$ o $i < 0$,
   • $b^j$ donde $j > 2$ o $j < 0$,

   • $ba$ (multiplicado en la forma "incorrecta").

     Estas tres relaciones nos dicen exactamente qué hacer en cada una de esas situaciones.

4. Exactamente la misma razón por la que los niños escriben sus tablas de multiplicar. ¡Te muestra lo que está sucediendo! Te da muchas más pistas sobre la estructura del grupo de las que podrías esperar en este punto; por otro lado, tienes razón al sospechar de ellas, porque nadie las usa después de cierto nivel. Pero pedagógicamente son muy importantes.

Answer 3

1. Sí, el autor quiere decir que el producto de cualquier par de elementos siempre se puede determinar mediante la referencia y manipulación de los hechos del conjunto definitorio de ecuaciones.
2. Los inversos no son relevantes en el ejemplo dado porque no están presentes. Si el autor reemplazara la primera ecuación con la forma equivalente $a = a^{-1}$, entonces se podría decir que son relevantes. Todo es solo cuestión de presentación aceptable.
3. Puede que no esté lo suficientemente familiarizado con el álgebra abstracta para saber esto, pero supongo que el autor realmente comenzó con el conjunto definitorio de ecuaciones y luego estableció rápidamente una tabla de multiplicación. También es posible que simplemente jugaron un poco con el álgebra hasta que encontraron un ejemplo aceptable para el texto; este tipo de cosas son absolutamente triviales para las personas que conocen esto a fondo.
4. Presenta la estructura multiplicative completa del grupo para una fácil referencia.

Answer 4

El uso de inversos (o más precisamente, el uso de exponentes negativos) es superfluo en el caso de grupos finitos. En un grupo finito, cada elemento tiene orden finito. En otras palabras, para cada elemento $a$, hay un número entero positivo $k$ tal que $a^k=e$. Por lo tanto, en lugar de escribir $a^{-1}$, se puede escribir $a^{k-1}$, que es lo mismo. En tu ejemplo $b^{-1}=b^2.

Por otro lado, tan pronto como tu grupo tiene elementos de orden infinito, ya no es posible escribir inversos como potencias positivas de los elementos, por lo que la notación "$-1$" puede ser necesaria. Esto solo puede ocurrir en grupos de tamaño infinito.

Las tres relaciones en tu ejemplo te dicen

1. cuál es el orden de $a$,
2. cuál es el orden de $b$,
3. cómo $a$ y $b$ se mueven uno al lado del otro.

Con dos generadores, esto es suficiente para determinar los resultados de multiplicaciones arbitrariamente complicadas, por lo que no necesitarás relaciones adicionales.

En grupos de gran tamaño, puede ser poco práctico escribir la tabla de multiplicación. Lo importante es poder producir la tabla de multiplicación en principio. El grupo solo está definido una vez que hayas especificado cómo multiplicar elementos arbitrarios del grupo. La tabla de multiplicación es una forma de hacerlo, pero si puedes demostrar que tus relaciones te permiten calcular productos arbitrarios, eso también está bien.

Answer 5

Una tabla de multiplicación de grupo siempre es un cuadrado latino. Un cuadrado latino es una tabla de multiplicación de grupo si cumple con la asociatividad. Por lo tanto, técnicamente puedes encontrar todos los grupos de orden $n$ encontrando todos los cuadrados latinos de orden $n \times n$ que sean asociativos.