¿Por qué los objetos más pesados caen más rápido en el aire?

Question

Todos sabemos que en un mundo idealizado todos los objetos se aceleran a la misma velocidad cuando se dejan caer, independientemente de su masa. También sabemos que en realidad (o más exactamente, en el aire) una pluma de plomo cae mucho más rápido que una pluma de pato con exactamente las mismas dimensiones/estructura, etc. Una explicación poco precisa es que el aumento de la masa de la pluma de plomo de alguna manera derrota la resistencia del aire más eficazmente que la pluma de pato.

¿Existe una explicación matemática más formal de por qué uno cae más rápido que el otro?

Answer 1

También sabemos que en realidad una pluma de plomo cae mucho más rápido que el pluma de pato con exactamente las mismas dimensiones/estructura, etc.

No, no en la realidad, en el aire . En el vacío, por ejemplo, en la superficie de la luna ( como se demuestra aquí ), caen al mismo ritmo.

¿Existe una explicación matemática más formal de por qué uno cae más rápido que el otro?

Si los dos objetos tienen la misma forma, el arrastrar fuerza sobre cada objeto, en función de la velocidad $v$ es el mismo.

La fuerza total que acelera el objeto hacia abajo es el diferencia entre la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre:

$$F_{net} = mg - f_d(v)$$

La aceleración de cada objeto es pues

$$a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{f_d(v)}{m}$$

Obsérvese que, en ausencia de arrastre, la aceleración es $g$ . Sin embargo, con la resistencia, la aceleración, a una velocidad dada, se reduce en

$$\frac{f_d(v)}{m}$$

Para la pluma de plomo, mucho más masiva, este término es mucho menor que para la pluma de pato.

Answer 2

Una buena aproximación de la fuerza de arrastre para un objeto que cae en la atmósfera es $-cv^2$ con $c$ una constante independiente de la masa. Por lo tanto, $$m \dot{v} = mg - cv^2$$ es la ecuación de movimiento con condición inicial $v(0)=0$ . Escribimos $$ t = m \int_0 ^{v(t)} \frac{d v}{mg -cv^2}$$ y el resultado final es $$ v (t) = \sqrt{\frac{mg}{c}} \tanh \left( t \sqrt{ \frac{gc}{m}} \right),$$ que es una función creciente como $m$ aumenta para $t$ constante, por lo que los objetos más pesados caen más rápido que los más ligeros en presencia de la resistencia debida al aire. La velocidad terminal es $$\lim_{t\to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{mg}{c}}.$$ Para una persona en caída libre con arrastre, la velocidad terminal es de unos 50 m/s.

El análisis anterior depende del hecho de que la sección transversal del objeto que cae permanece constante, lo que a menudo dista mucho de ser cierto y altera el resultado de forma significativa, ya que, por ejemplo, una pluma se curva al caer mientras que una pluma de la misma forma hecha de metal no se curvará y será más pesada, lo que hace que la diferencia de velocidad de caída sea más pronunciada. En efecto, un diagrama con diferentes $c$ que es $\propto A^{-1}$ con $A$ la sección transversal, indica que el efecto de la sección transversal sobre la velocidad es mucho más importante que el de las diferentes masas. Además, suponemos que las corrientes de viento y las turbulencias son despreciables, otra suposición que puede cambiar significativamente el resultado en condiciones reales.

Editar:

Este análisis, como se ha anticipado, puede fracasar estrepitosamente si se tiene en cuenta que un objeto asimétrico en general gira de forma caótica si supera cierto ángulo umbral, que se puede decir que depende de la densidad, cf. este artículo

Answer 3

Respuesta corta: ¡arrastramiento del aire!

La gravedad está actuando en ambas plumas la más masiva recibe un tirón más fuerte hacia abajo. El arrastre del aire actúa en contra de ese movimiento y es proporcional a la velocidad (de forma muy compleja, referencias aquí y aquí )

Ese mayor tirón ayuda a superar la creciente fuerza opositora de arrastre. Por eso la pluma de plomo acelera más rápido y alcanza una mayor velocidad terminal.

El mismo principio se aplica a los coches de carreras. Dos coches, con la misma forma, el que tiene el motor más potente puede acelerar más y alcanzar una mayor velocidad máxima.

Otro ejemplo: Los paracaidistas suelen vestir algo para aumentar la resistencia del aire y se colocan en una posición que ayude a la resistencia para disminuir la velocidad terminal y aumentar el tiempo de caída. Un paracaidista en posición vertical caerá mucho más rápido.

Editar

Después de una discusión sobre el efecto de flotación, busqué un rato sobre la densidad de las plumas de un pájaro, un valor que no es fácil de conseguir. Encontré este referencia (es un documento .pdf) sobre la pluma de chiken y contiene muchas consideraciones sobre la densidad. Después de la conferencia podemos usar un valor de 0,89g/cm3 y eso es casi tan denso como el agua. Así que cualquier efecto de flotación es insignificante. Si uno todavía quiere discutir las fuerzas insignificantes podemos elegir también la variación de la gravedad en la altitud o el efecto de la física relativista sobre la aceleración de un cuerpo.

Answer 4

¡Impulso lineal!

Creo que la forma más fácil de jadear el concepto es pensar a nivel atómico en el momento de los objetos y los átomos del aire que causan la fricción.

El momento lineal es igual a $m\times v$ por lo que un objeto más pesado tiene un mayor impulso. Imagina un átomo que viene de la dirección opuesta al objeto que cae y choca con el objeto.

Para facilitar las cosas suponemos una colisión unidimensional inelástica. Básicamente, cuando los átomos chocan con el objeto, éste pierde parte de su momento, la masa es constante y esto hace que el objeto se ralentice.

Imagina dos objetos con diferente masa pero con la misma velocidad, el objeto con mayor masa (por ejemplo, una esfera de metal) sólo perderá un poco de su momento lineal, por lo que seguirá avanzando con una velocidad cercana a la inicial, en cambio, el objeto con menor masa (por ejemplo, un globo) y con impulso perderá una gran parte de su momento lineal, por lo que disminuirá considerablemente.

Answer 5

Que la pluma de plomo caiga más rápido o que la pluma de pato caiga más rápido, depende de la dirección de la fuerza externa por unidad de superficie que actúe sobre ellas, de la masa por unidad de superficie de cada una de ellas.

La probabilidad de que la pluma de plomo caiga más rápido es mayor que la de los patos, debido a la mayor probabilidad de que haya menos fuerza externa hacia abajo en ambas.

La fuerza descendente no debe descuidarse teniendo en cuenta la presión atmosférica, la presión del aire puede sostener un $10m$ columna alta de agua (ley de Torricelli). ¡Un vaso bastante alto! Haga clic aquí para ver el vídeo. $_1$

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Créditos: $_1$ Modern's ABC of Physics-2012 Edition-Page No.695.