Hay un antiguo problema, recuerdo haber leído una vez en un libro, mientras que yo era un niño, que dice: había un padre que tenía $N$ hijos e $T$ vacas. Él dividió a las vacas entre los hijos en el orden siguiente: para el primer hijo, $1 + 1/7$ de los restantes; para el segundo hijo de $2+ 1/7$ de los restantes; ..., por el $i$'th hijo de $i+1/7$ restante de los... la pregunta para los números T y N. En el hecho de $N=6$ $T=36$ es una solución. He encontrado que puede ser generalizado a cualquier relación de $1/M$ $N=M-1$ $T=N^2$ es una solución. Me preguntaba si hay alguna otra solución para el problema general en $\mathbb{Z}$. He formalizado el problema de la siguiente manera:
Tenemos un sistema de ecuaciones descrito por la siguiente $N+1$ ecuaciones definidas en $\mathbb{Z}$: \begin{align*} n_1 &= 1+ \frac{T-1}{M}\\ n_2 &= 2+ \frac{T-2-n_1}{M}\\ &\vdots\\ n_i &= i+ \frac{T-i-\sum\limits_{j=1}^{i-1} n_j}{M}\\ T&=\sum\limits_{i=1}^{N} n_i. \end{align*}
Un conjunto de soluciones está dado por: \begin{align*} T &= N^2\\ n_i&=N\\ M&=N+1 \end{align*}
Por ejemplo, cuando $N=6$, $T=36$, $n_1 = n_2 = \cdots = n_6 = 6$ es una solución.
Me pregunto si hay algún otro no trivial entero de soluciones para el anterior sistema de ecuaciones.
Gracias,
MG
