Similar a la integral de Cauchy fórmula

Question

Deje $f=u+iv$ ser una analítica de la función en el disco de $\mathbb{D}$$0<r<1$. Me pueden ayudar a demostrar que

$$\pi{r}f'(0)=\int_{0}^{2\pi}\frac{u(re^{i\theta})}{e^{i\theta}}d\theta\;\;\;?$$

He probado con la de Cauchy de la integral de la fórmula, pero sin éxito.

Answer 1

Por la fórmula de Cauchy para las derivadas: $$\int_0^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{e^{i\theta}}d\theta=\int_0^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{r^2e^{2i\theta}}\frac{rd(re^{i\theta})}{i}=2r\pi\frac{1!}{2i\pi}\int_{|z|=r}\frac{u(z)+iv(z)}{z^2}dz=2r\pi f'(0)$$

Ahora, $$\int_{|z|=r}\frac{u-iv}{z^2}dz=\int_{|z|=r}\frac{\bar{f}(z)}{z^2}dz=0$$ como puede verse, por ejemplo, considerar la serie $$\bar{f}(z)=\sum_{n}a_n \bar{z}^n$$ y el hecho de que $$\int_{|z|=r}z^a\bar{z}^bdz=0$$ a menos $a=b$.

NB La fórmula de Cauchy para los derivados es $$f^{(n)}(w)=\frac{n!}{2i\pi}\int_{|z-w|=r}\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz$$

Answer 2

Una idea, (pero tal vez no sea la mejor respuesta, hay algunos cálculos). Poner $f(z)=\sum a_k z^k$, e $a_k=u_k+iv_k$$u_k, v_k \in \mathbb{R}$. Entonces $$u(r\exp(i\theta))=\sum (u_kr^k \cos(k\theta)-v_kr^k\sin(k\theta))$$

Y estas series de funciones normalmente convergente. Tenga en cuenta que como las funciones son periódicas con período de $2\pi$: $$\int_0^{2\pi}u(r\exp(i\theta))\exp(-i\theta)d\theta=\int_{-\pi}^{+\pi}u(r\exp(i\theta))\exp(-i\theta)d\theta$$ y que $$\int_{-\pi}^{+\pi}\cos(k\theta)\sin(\theta)d\theta= \int_{-\pi}^{+\pi}\sin(k\theta)\cos(\theta)d\theta=0$$ para todos los $k$ (impar funciones) y $$\int_{-\pi}^{+\pi}\cos(k\theta)\cos(\theta)d\theta= \int_{-\pi}^{+\pi}\sin(k\theta)\sin(\theta)d\theta=0$$ si $k\not =1$, y su valor es $\pi$ si $k=1$.

Esto le da $$\int_{-\pi}^{+\pi}u(r\exp(i\theta))\exp(-i\theta)d\theta=\pi r u_1+i\pi rv_1=\pi r a_1=\pi r f^{\prime}(0)$$

Answer 3

Usted puede tomar el poder de la serie de $f$ e integrar termwise.

Si $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$ $$u(z)=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n+\sum_{n=0}^\infty \overline{a_n}\cdot \overline{z}^n \right)$$ así $$\int_0^{2\pi} u(re^{es})e^{-} dt = \int_0^{2\pi} \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{ a_n r^ne^{nit} + \overline{a_n}r^ne^{-nit}}2 \right) e^{-} dt = \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_nr^n}2 \int_0^{2\pi}e^{(n-1)} dt + \sum_{n=0}^\infty \frac{\overline{a_n}r^n}2 \int_0^{2\pi}e^{(n-1)} dt= \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_nr^n}2 \begin{Bmatrix} 2\pi & \text{if %#%#%} \\ 0 & \text{if %#%#%} \\ \end{Bmatrix} + \sum_{n=0}^\infty a_n r^n \begin{Bmatrix} 2\pi & \text{if %#%#%} \\ 0 & \text{if %#%#%} \\ \end{Bmatrix} = \\ = \frac{a_1r}2 \cdot 2\pi = \pi r a_1 = \pi r f'(0).$$

Answer 4

Aquí es un poco más real de la analítica de la prueba: por la de Cauchy-Riemann ecuaciones $$f'=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$ y desde $f'$ es armónica (es decir, su valor en cualquier punto es igual a la media de sus valores en cualquier esfera con centro en ese punto) tenemos $$f'(0)=\frac{1}{\pi r^2}\int_{\mathbb{D}_r}f'(x+iy)\,dx\,dy=\frac{1}{\pi r^2}\int_{\mathbb{D_r}}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{1}{\pi r^2}\int_{\partial\mathbb{D}_r}u(\nu_x-i\nu_y).$$ Aquí $\mathbb{D}_r=\{|z|<r\}$ $\nu=(\nu_x,\nu_y)$ es el exterior de la unidad normal. En la última igualdad hemos utilizado el teorema de la divergencia. Pero si tenemos parametrizar $\partial\mathbb{D}_r$ $\theta\mapsto re^{i\theta}$ (como de costumbre) nos damos cuenta de que $\nu=e^{i\theta}$, de modo que $\nu_x-i\nu_y=\overline{\nu}=e^{-i\theta}$ y finalmente llegamos $$f'(0)=\frac{1}{\pi r}\int_0^{2\pi}u(re^{i\theta})e^{-i\theta}\,d\theta.$$

Answer 5

Tal vez, lo siguiente a realizar es la correcta. Vamos $g(z)=\overline{f(\overline{z})}$. De $g(z)$ es analítica en $\mathbb{D}$. Por Cauchy de la integral de la fórmula que hemos

$$f'(0)=\frac{1}{2\pi{i}}\int_{\partial D(0,r)}\frac{f(z)}{z^2}dz=\frac{1}{2\pi{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{r^2e^{i2\theta}}re^{i\theta}id\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}}d\theta$$ .

Por otro lado tenemos

$$\frac{1}{\pi{r}}\int_{0}^{2\pi}\frac{u(re^{i\theta})}{e^{i\theta}}d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}}d\theta+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\overline{f(re^{i\theta})}}{re^{i\theta}}d\theta=$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}}d\theta+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{g(re^{-i\theta})}{re^{i\theta}}d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}}d\theta+\frac{1}{2\pi{r^2}i}\int_{\partial D(0,r)}g(z)dz=$$

$$=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}}d\theta=f'(0).$$