Usted tiene un cuadrado de césped y una preciosa flor en el centro. Usted quiere asegurarse de que el agua de la flor, y en particular, no importa lo mucho que el césped agua. A favor de su aleatoria del sentido estético, de manera uniforme elegir aleatoriamente a dos puntos en el césped como puntos finales de una elevación de tubería de riego, que giran alrededor de su centro y regar el círculo que cubre. Se sigue recogiendo puntos hasta que la tubería de aguas de la flor y ninguno de los vecinos de las parcelas.
¿Cuál es la probabilidad para una selección para rendimiento admisible puntos? Suponga que los costos son determinados principalmente por el material de la tubería; ¿cuál es su longitud? Suponga que los costos son determinados principalmente por el agua que se utiliza; ¿cuál es la espera que el área de regadío? ¿Cómo se compara a los valores correspondientes si usted acaba de recoger dos puntos al azar sin tener que preocuparse acerca de la flor o a los vecinos?
Los antecedentes de esta cuestión es que me di cuenta de que en el pensamiento acerca de esta respuesta que a) los cálculos de la realidad puede ser simplificado por aparentemente complicadas condiciones como el círculo determinado por los puntos en el interior de la plaza (a la espera de la longitud del segmento es más fácil determinar con la condición de sin), y b) algunas condiciones, como el círculo interior de la plaza, reducir la duración prevista y la zona, mientras que otros, como el centro está dentro del círculo, el aumento de la duración prevista y la zona, y sería interesante ver cuál de estos efectos es más fuerte. Tengo la esperanza de que tal vez sea diferente de la longitud y de la zona. Siéntase libre de calcular los momentos de orden superior.
Espero que este sea un cálculo simple con el enfoque que se utiliza en la respuesta; es sólo que los límites de integración son un poco complicados por la condición de que el centro del círculo. Voy a tratar de realizar el cálculo y escribir una respuesta si nadie más lo hace, pero yo pensé en compartir el problema con usted primero.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La integración de los límites necesario algún pensamiento, pero el resto del problema es razonable.
Como las respuestas a la pregunta anterior, me centraré en los casos donde el punto medio $M$ de los dos puntos al azar y coordina $(x,y)$ es en el octante con $0 \le y \le x \le \frac12$.
La densidad de probabilidad de un punto medio $M$ a es proporcional al área del rectángulo azul en el que los dos puntos al azar debe mentir, es decir, proporcional a $2x \times 2y$ en el primer octante. Desde $8 \int_{x=0}^\frac12 \int_{y=0}^x 4xy \, dy \,dx = \frac14$, sabemos que la constante de proporcionalidad es $4$, lo que tenemos que utilizar para multiplicar el área del rectángulo, y luego multiplicar el área que nos interesa.
Para que el agua no es para golpear a los vecinos, tenemos los dos puntos al azar a encontrarse en el exterior del círculo. Esto ha radius $y$ área $\pi y^2$. Para el agua se dirijan a la plaza del centro de la $C$$\left( \frac12, \frac12 \right)$, tenemos los dos puntos al azar que se encuentran fuera del interior del círculo verde. Esto ha radius $\sqrt{\left( \frac12 -x \right)^2 + \left( \frac12 -y \right)^2 }$ área $\pi \left(\left( \frac12 -x \right)^2 + \left( \frac12 -y \right)^2\right)$. También exigimos que el radio del círculo interior a no ser más que la del círculo exterior que conduce a $y \ge x^2-x+\frac12$ $x \ge 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$ en el primer octante.
Así, el problema se convierte en uno de integrar el área del anillo. Esto le da $$8 \int_{x=1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}^\frac12 \int_{y=x^2-x+\frac12}^x 4 \pi \left( y^2 -\left( \tfrac12 -x \right)^2 -\left( \tfrac12 -y \right)^2\right) \, dy \,dx $$ $$= \pi\frac{(\sqrt{2048}-43)}{30}$$ which is about $0.2361$.
