Dejemos que K sea el anillo de tierra. La afirmación es válida
(a) cuando B es diagonal,
(b) cuando B es estrictamente triangular,
(c) cuando B es triangular (por (a) y (b)),
(d) cuando A y B tienen entradas racionales y K es una extensión de Q que contiene los valores propios de B (por (c)),
(e) cuando K=Q (por (d)),
(f) cuando K=Z[a11,…,ann,b11,…,bnn] , donde el aij y bij son respectivamente las entradas de A y B y son indeterminados (por (e)),
(g) siempre (por (f)).
El lector que sepa cuál es el discriminante de un polinomio en Q[X] es, puede saltarse (b) y (c).
Referencia: este MathOverflow respuesta de Bill Dubuque.
EDITAR 1. El principio que subyace al argumento anterior tiene varios nombres. Bill Dubuque lo llama principio de "universalidad". Michael Artin lo llama "principio de permanencia de las identidades". La sección de Álgebra con este título puede verse aquí . Sugiero encarecidamente la lectura de esta sección a quienes no estén familiarizados con ella. Es una interesante coincidencia que la ilustración elegida por Artin sea precisamente la multiplicatividad de los determinantes.
Otra aplicación muy importante es la demostración del Teorema de Cayley-Hamilton. No la expondré aquí, pero haré una digresión sobre otro punto. Es decir, intentaré explicar por qué
(*) basta con demostrar Cayley-Hamilton o la multiplicatividad de los determinantes en el caso diagonal.
Supongamos que tenemos un mapa polinómico f:Mn(Z)→Z . Entonces f viene dada por un único elemento, también denotado como f de Z[a11,…,ann] , donde el aij son indeterminados (porque Z es un dominio infinito). En consecuencia, dado cualquier A en Mn(K) para cualquier anillo conmutativo K podemos definir fK(A) mediante la asignación de la indeterminada aij a la entrada correspondiente de A . Ese es el Principio de Permanencia de las Identidades. La clave para demostrar (*) será:
LEMA 1. Dejemos que f:Mn(Z)→Z sea un mapa polinómico que desaparece en las matrices diagonalizables. Entonces f desaparece en todas las matrices.
Hay al menos dos formas de demostrarlo. El lector quizá prefiera la primera, pero (IMHO) la segunda es mejor.
De la primera manera: Basta con demostrar que el mapa polinómico fC:Mn(C)→C es cero. Por lo tanto, basta con demostrar que las matrices diagonalizables son densas en Mn(C) . Pero esto está claro ya que cualquier A∈Mn(C) es similar a una matriz triangular T y las entradas diagonales de T (que son los valores propios de A ) pueden hacerse todas distintas añadiendo una matriz diagonal arbitrariamente pequeña.
Segunda forma. Consideremos de nuevo el anillo R:=Z[a11,…,ann] , donde el aij son indeterminados. Sea A en Mn(R) sea la matriz cuya (i,j) La entrada es aij . Sea χ∈R[X] sea el polinomio característico de A y que u1,…,un sean las raíces de χ (en alguna extensión del campo de fracciones de R ).
LEMA 2. La expresión ∏i<j (ui−uj)2 define un único elemento no nulo de d∈R , llamado el discriminante de χ .
El lema 2 implica el lema 1 porque R es un dominio y porque tenemos fd=0 desde f desaparece en las matrices diagonalizables, mientras que d desaparece en las matrices no diagonalizables.
El lema 2 es un caso particular de un teorema que dice que, dado cualquier polinomio mónico g en una indeterminada y coeficientes en un campo, cualquier polinomio en el raíces de g que es invariante bajo permutación es un polinomio en el coeficientes de g . Más concretamente:
Dejemos que A sea un anillo conmutativo, sea X1,…,Xn,T sean indeterminados, y que si sea el grado i polinomio simétrico elemental en X1,…,Xn . Recordemos que el si se definen por f(T):=(T−X1)⋯(T−Xn)=Tn+n∑i=1 (−1)i si Tn−i. Abreviamos X1,…,Xn por X∙ y s1,…,sn por s∙ . Sea G el grupo de permutaciones de la Xi y A[X∙]G⊂A[X∙] el anillo fijo. Para α∈Nn poner Xα:=Xα11⋯Xα11,sα:=sα11⋯sα11. Escriba Γ para el conjunto de los α∈Nn que satisfacen αi<i para todos i y poner XΓ:={Xα | α∈Γ}.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS. El si generar el A -Álgebra A[X∙]G .
PRUEBA. Obsérvese que el mapa u:Nn→Nn definido por u(α)i:=αi+⋯+αn es inyectiva. Ordenar Nn lexicográficamente, observe que el término principal de sα es Xu(α) y argumentar por inducción en el ordenamiento lexicográfico de Nn .
EDITAR 2.
Identidades polinómicas
Michael Artin escribe:
Es posible formalizar la discusión anterior y demostrar un teorema preciso sobre la validez de las identidades en un anillo arbitrario. Sin embargo, incluso los matemáticos piensan a veces que no vale la pena hacer una formulación precisa, que es más fácil considerar cada caso según se presente. Esta es una de esas ocasiones.
Voy a desobedecer y hacer una formulación precisa (tomada de Bourbaki). Si A es un anillo conmutativo y T1,…,Tk son indeterminados, denotemos la forma obvia de morfismo Z[T1,…,Tk] a A[T1,…,Tk] por f↦¯f .
Dejemos que X1,…,Xm,Y1,…,Yn sean indeterminados.
Dejemos que f1,…,fn estar en Z[X1,…,Xm] .
Dejemos que g estar en Z[Y1,…,Yn] .
La expresión g(f1,…,fn) denota entonces un polinomio bien definido en Z[X1,…,Xm] .
Si este polinomio es el polinomio cero, digamos que (f1,…,fn,g) es un (m,n) -identidad polinómica .
El "teorema" es este:
Si (f1,…,fn,g) es un (m,n) -identidad polinómica, y si x1,…,xm están en A , donde A es cualquier anillo conmutativo, entonces g(f1(x1,…,xm),…,fn(x1,…,xm))=0.
El ejercicio: Es (X31−X32,X1−X2,X21+X1X2+X22,Y1−Y2Y3) a (2,3) -¿Identidad polinómica?
Claramente, la multiplicatividad de los determinantes y el Cayley-Hamilton pueden expresarse en términos de identidades polinómicas en el sentido anterior.
Álgebras exteriores
Para demostrar la multiplicatividad de los determinantes, también se puede proceder como sigue.
Dejemos que A sea un anillo conmutativo y M un A -módulo. Se puede demostrar que existe un A -Álgebra ∧(M) , llamado el álgebra exterior de M [aquí "álgebra" significa "álgebra no necesariamente conmutativa"], y un A -mapa lineal eM de M a ∧(M) con la siguiente propiedad:
Por cada A -mapa lineal f de M a un A -Álgebra B satisfaciendo f(x)2=0 para todos x en M hay un único A -morfismo de álgebra F de ∧(M) a B tal que F∘eM=f .
Se puede probar eM(x)2=0 para todos x en M . Esto implica fácilmente que ∧ es un functor de A -módulos a A -algebras.
Dejemos que ∧n(M) sea el submódulo de ∧(M) generado por el eM(x1)⋯eM(xn) , donde el xi atropellar M . Entonces ∧n es un functor de A -módulos a A -módulos.
Se puede demostrar que el A -Módulo ∧n(An) es isomorfo a A . Para cualquier endomorfismo f de An , uno define det(f) como ser ∧n(f) . La multiplicidad es entonces evidente.
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¿La prueba no aparece en su libro de texto?
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Pues buscando en Google me da este enlace: - math.osu.edu/~husen/teaching/571/2_2.pdf
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Pista: Demuestre que la fórmula es válida, si AA es una matriz elemental. Por inducción demuestre que se cumple si AA es un producto de matrices elementales. ¿Qué casos no se contemplan? Estúdialos por separado.
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@Learner: ¿Cómo se define el determinante de una matriz? La definición afecta a las propiedades que podemos asumir en la prueba.