Decimales de la raíz cuadrada de $n$.

Question

Sea $a_1, \ldots, a_k$ una secuencia de dígitos (es decir, cada $a_i$ está entre 0 y 9). Demuestra que existe un entero $n$ tal que $\sqrt{n}$ tiene sus primeros $k$ decimales después del punto decimal precisamente la cadena $a_1\ldots a_k$. Una posible solución a este problema (¡pero no la única solución!) utiliza el hecho de que

$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac1{2\sqrt{n}}\,\,\,\text{ para todo }n\geq 1$$

¿Alguien podría ayudarme a abordar la solución? No entiendo qué tiene que ver la desigualdad con los decimales de la raíz de $n$.

Answer 1

La pista es engañosa: no debería usar el mismo símbolo $n$. Entonces usemos la pista

$$\sqrt{i+1}-\sqrt i < \frac{1}{2\sqrt i} \text{ para todo }i \ge 1$$

Elige $i$ lo suficientemente grande para que $\dfrac{1}{2\sqrt i} < 10^{-k}$. Luego las raíces cuadradas sucesivas $\sqrt i, \sqrt{i+1},\sqrt{i+2},\ldots$ difieren en menos de $10^{-k}$. Ahora elige $j$ lo suficientemente grande para que $\sqrt{i+j} > \sqrt i + 1$. Entonces las raíces cuadradas desde $\sqrt i$ hasta $\sqrt{i+j}$ contendrán todas las posibles secuencias de $k$ dígitos después del punto decimal. Así que una de ellas debe ser igual a $a_1\ldots a_k$.

Answer 2

Aquí está la idea aplicada a un caso específico.

Probemos que hay un entero cuya raíz cuadrada tiene una parte fraccionaria que comienza con un 2.

Así que buscamos un entero $n$ tal que, para algún entero $m$, tengamos $$ m+0.2 \le \sqrt{n} < m+0.3. $$ Al elevar al cuadrado esto, tenemos $$ m^2 + 0.4m +0.04 \le n < m^2+0.6m+0.09. $$ Entonces, si un entero cae entre $m^2+0.4m+0.04$ y $m^2+0.6m+0.09$, entonces tenemos nuestro $n$. Este intervalo tiene una longitud de $0.2m+0.05$ y ciertamente contendrá un entero si $m$ es lo suficientemente grande. Elija $m$ lo suficientemente grande y podemos concluir que dicho $n$ existe (Por ejemplo, $n=5$ es suficiente, dando como resultado el intervalo $[27.04,28.09]$ que contiene el entero $28$ cuya raíz cuadrada es $5.2915...$.)

La idea se aplica de la misma manera cuando se quieren especificar más dígitos en la raíz. Solo necesitarás elegir un $m$ más grande.

Answer 3

Te daré un ejemplo y tú haces el resto.

Supongamos que quieres tener 123.

Toma $\frac{123000000}{999}$ con suficientes $0$'s para alinear el valor y tener $.123$ después del dígito decimal.

En este caso puedes tomar $3$, $6$, $9$, $12$.... ceros. En general $k$, $2k$, $3k$, $4k$...

Es importante que puedas extender esto tanto como desees para el siguiente paso.

Tomaré $6$ $0$'s

$\frac{123000000}{999}=123123.123123...$

Eleva al cuadrado este número

$(\frac{123000000}{999})^2=(15159303447+\frac{65617}{110889})$

Ahora elimina la parte fraccionaria obteniendo $15159303447$. Si has tomado un número suficientemente grande de ceros, es decir un múltiplo suficientemente alto de $k$, este es tu número

$$\sqrt{15159303447}=123123.12312072...$$

Excepto aquellos con todos los $9$'s, esta es la fórmula para todos los finales con un número suficientemente grande $m$, $a=a_{1}a_{2}...a_{k}$

$$\left \lfloor (\frac{10^{mk}a}{10^k-1})^2 \right \rfloor$$

Para el número deseado de 9's solamente, ya que el método, por razones obvias, no funciona para la repetición de 9's, simplemente toma $10^{2k}-1$ y tendrás tu número.

Esto funciona creando un número racional con tus dígitos como repetición. Dado que puedes hacer que la parte inicial sea tan grande como desees, al eliminar la parte fraccionaria en el segundo paso dejará de afectar los primeros $k$ dígitos después de un dígito decimal en algún momento, por lo que puedes eliminarlo siempre y cuando hayas tomado un número suficiente de $0$'s.

Esto es una demostración por construcción, puedes hacer esto para cualquier $k$ y para cualquier combinación de dígitos con la regla explicada para todos los $9$'s.

Prueba:

$$\sqrt{\left \lfloor (\frac{10^{mk}a}{10^k-1})^2 \right \rfloor}=\sqrt{ (\frac{10^{mk}a}{10^k-1})^2 k}=\frac{10^{mk}a}{10^k-1} \sqrt{k}$$

$k=\frac{\left \lfloor (\frac{10^{mk}a}{10^k-1})^2 \right \rfloor}{(\frac{10^{mk}a}{10^k-1})^2}$ el cual, aumentando $m$, puede acercarse tanto a 1 como queramos, lo que significa que podemos conservar tantos dígitos como deseemos de $\frac{10^{mk}a}{10^k-1}$ incluyendo los primeros $k$ en los que estamos interesados.

Answer 4

Para usar la relación que se te da, $\sqrt{n+1}-\sqrt n \lt \frac 1{2\sqrt n}$, debes tener en cuenta que el valor posicional de $a_k$ es 10^{-k}. Si $\frac 1{2\sqrt n} \lt 10^{-k}$, lo cual significa que $n \gt 10^{2k}/4$, el paso entre las raíces cuadradas será menor que $10^{-k}$, por lo que se llegarán a todas las cadenas de $k$ decimales. Entonces, puedes tomar cualquier $n\gt 10^{2k}/4$ y $m=\lfloor \sqrt{n+0.a_1a_2a_3\dots (a_k+1)}\rfloor$ es el entero que buscas.