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Representaciones de SL(2) como una expresión algebraica de grupo

Entiendo lo finito-dimensional representaciones de $\text{SL}(2,\mathbb C)$ como una Mentira grupo y su correspondencia con la Mentira de álgebra representaciones de $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$.

¿Alguien sabe de un buen punto de referencia que explica el análogo de la teoría de la finitos representaciones tridimensionales de $\text{SL}(2)$ algebraica de grupo (más de un campo arbitrario)? ¿Bajo qué condiciones una correspondencia similar sostener la Mentira de álgebra representaciones?

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ajma Puntos 123

Se puede intentar buscar en Jantzen del libro "las Representaciones algebraica de los grupos". Esto supone que el campo de tierra es algebraicamente cerrado. Para la historia completa, ver Tetas " de papel "Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un cuerpo quelconque" (Crelle, 1971).

La historia básica es esta:

Sobre cualquier campo de char 0, la situación no es demasiado sorprendente. Para SL(2), las representaciones son exactamente las que cabría esperar, cada representación es una suma directa de irreducibles y la irreducibles son exactamente simétricas poderes de la norma de la representación. Esta se dirige a un general de división conectado reductora de grupo en la forma que cabría esperar, con irreducibles ser parametrizada por la dominante integral de los pesos de la Mentira de álgebra. Si el grupo no es dividir, entonces no todos los pesos corresponden a representaciones definidas sobre el campo de tierra, pero todavía hay una relativamente buena descripción (cf. Las tetas de papel, o el resumen en Bruto "Algebraica de las formas modulares").

Para char p la historia es mucho más sutil, incluso de SL(2). El Frobenius mapa ahora le da inesperado morfismos entre el simétrico de los poderes de la norma rep, el envío de $Sym^k$$Sym^{pk}$. Las imágenes de estos mapas, en general, no tienen invariante complementa, por lo que las representaciones no son semisimple, y la situación se vuelve mucho más complicado e interesante. Jantzen tiene mucha más información acerca de este.

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