¿Qué nivel de rigor que se espera de Análisis Real?

Question

No he podido encontrar un duplicado.

Me estoy preguntando lo que el nivel de rigor que se necesita en un típico curso de licenciatura en Análisis Real. Para aclarar mi pregunta, me ofrecen un ejercicio de Rudin y mi propuesta de solución:

(Ejercicio 5, Capítulo 1) Vamos a $A$ ser un conjunto no vacío de números reales, que está delimitada por debajo. Deje $-A$ ser el conjunto de todos los números de $-x$ donde $x \in A$. Demostrar que $$\inf A = -\sup(-A)$$

Mi respuesta:

$A$ está delimitado a continuación. Como tal, $-A$ debe estar acotada por arriba. Supongamos $\alpha$ es la mayor cota inferior de a $A$. De ello se desprende que $-\alpha$ es la menor cota superior de a $-A$. Como tal, llegamos a la expresión deseada $$\inf A = -\sup(-A)$$

Así, por ejemplo, se siente muy corto, pero también siento que no hay mucho más que decir aquí. Aunque esta tarea podría llegar a ser un mal ejemplo, me atrevo a adivinar que el error más común para los jóvenes estudiantes que ingresan matemáticas superiores es que subestiman el rigor necesario para resolver aparentemente trivial problemas. Como tal, pido para una elaboración de este. El ejemplo no necesariamente tiene que ser utilizado en su respuesta.

Answer 1

$$ \inf A = -\sup(-A) $$

Rudin del libro da las definiciones de los conceptos involucrados, y yo me quedaría cerca de lo que esas definiciones decir.

$A$ está acotada por debajo, es decir, que tiene un límite inferior $x$. Eso significa que $\forall a\in A,\ x\le a$. En consecuencia,$\forall a\in A,\ -x\ge -a$.

$\forall b \in -A\ \exists a\in A\ b = -a$, por lo tanto $\forall b\in -A,\ -x\ge b$. Por lo tanto $-x$ es un límite superior de $-A$.

Por lo tanto hemos probado que para cada límite inferior $x$ de $A$, $-x$ es una cota superior de a $-A$. En particular, $-\inf A$ es un límite superior de $-A$. Con el fin de mostrar que el $-\inf A$ es la menor cota superior de a $-A$, uno debe mostrar que no hay ningún número menor que $-\inf A$ es un límite superior de $-A$. Supongamos $c<-\inf A$. A continuación,$-c>\inf A$. Desde $-c$ es mayor que el más grande de límite inferior de $A$, $-c$ no es un límite inferior de $A$. Por lo tanto para algunos $a\in A$, $a<-c$, y por lo $-a>c$. Desde $-a\in-A$, tenemos un miembro de $-A$ que es mayor que $c$, lo $c$ no es una cota superior de $-A$. ${}\qquad\blacksquare$

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Me gustaría escribir algo así como que en un ejercicio en una sección en la que los conceptos de los límites superior e inferior y los archivos inf y sup fueron introducidas.

Answer 2

Esa es la respuesta esperada. Mi experiencia con el análisis real fue la pregunta que llevó a una o dos páginas seguidas por preguntas que siguen como un simple corolario.

Es otro error común suponer que las pruebas tienen que ser construida a partir de primeros principios cada vez que se realiza.

Answer 3

He aquí una prueba a lo largo de las líneas que yo esperaría de un estudiante de pregrado en el primer semestre de análisis real.

Prueba: Supongamos $A$ ser un conjunto no vacío de números reales, que es la delimitada por debajo. Por definición de la acotada por debajo, podemos optar $\alpha\in\mathbb R$ tal que $\alpha\leq x$ por cada $x\in A$. Esto implica que $-x\leq -\alpha$ por cada $x\in A$, de modo que $-\alpha$ es un límite superior para $-A$. Por lo tanto, $-A$ es un conjunto no vacío de números reales, que es la delimitada por encima y, por lo tanto, tiene un supremum, decir $\beta$, por el axioma de completitud.

Debemos mostrar ese $-\beta$ es el infimum de $A$. Primero, nótese $\beta$ es un límite superior para $-A$ (por la definición de supremum) o $\beta \geq -x$ por cada $x\in A$. Por lo tanto, $-\beta\leq x$ por cada $x\in A$ $-\beta$ es un límite inferior para $A$. A continuación, vamos a mostrar que $\beta$ es la mayor cota inferior de a $A$. Por lo tanto, asumir que $\beta<\gamma$. A continuación, $-\gamma<-\beta$ (desde $\beta$ es el supremum de $-A$), hay algunos $x\in A$$-\gamma<x<-\beta$. Por lo tanto, $\beta<-x<\gamma$$x\in A$, de modo que $\gamma$ no puede ser un límite inferior de $-A$.$\Box$

Para entender por qué estos detalles son escritos grotesco detalle, me gustaría considerar el material que es probable que usted acaba de aprender. Si usted está tratando de mostrar que una infimum puede ser definido en términos de un supremum, entonces es probable que usted acaba de aprender estos conceptos, así como conceptos como los límites superior e inferior. Así que creo que realmente tienes que consulte de manera bastante explícita a esas definiciones. Por el contrario, he utilizado el fin de propiedades, tales como $x<y \implies -y<-x$ sin referencia específica ya que eso es probablemente por lo menos un poco en el pasado.