¿Cómo determinar la longitud del arco de una elipse?

Question

Quiero determinar la longitud de un arco de la elipse en la imagen de abajo:

¿Cómo puedo determinar la longitud de $d$?

Answer 1

Sea $a=3.05,\ b=2.23.$ Entonces una ecuación paramétrica para la elipse es $x=a\cos t,\ y=b \sin t.$ Cuando $t=0$ el punto está en $(a,0)=(3.05,0)$, el punto de inicio del arco en la elipse cuya longitud estás buscando. Ahora es importante darse cuenta de que el parámetro $t$ no es el ángulo central, por lo que necesitas obtener el valor de $t$ que corresponde al extremo superior de tu arco. En ese extremo tienes $y/x=\tan 50$ (grados). Y en términos de $t$ tienes $y/x=(b/a)\tan t$. Resolviendo para $t$ entonces obtenemos $$t=t_1=\arctan \left( \frac{a}{b}\tan 50 \right).$$

[nota Sugeriría usar radianes aquí, reemplazando el $50$ por $5\pi/18.$]

Para la longitud del arco utiliza la fórmula general de integrar $\sqrt{x'^2+y'^2}$ para $t$ en el rango deseado. En tu caso $x'=-a \sin t,\ y'=b \cos t$, por lo que estás integrando $$\sqrt{a^2 \sin^2t+b^2 \cos^2t}$$ con respecto a $t$ desde $0$ hasta el anterior $t_1$. No existe una forma cerrada simple para la antiderivada (es una "integral elíptica), el enfoque más simple ahora sería hacer la integral numéricamente. Esto parece más apropiado en tu problema ya que aparentemente solo conoces $a,b$ hasta dos decimales.

* Cuando hice esto numéricamente en maple obtuve alrededor de $2.531419$ para la longitud del arco.

Answer 2

Puedes calcular esto como

$$d=b\,E\bigl(\tan^{-1}(a/b\,\tan(\theta))\,\big|\,1-(a/b)^2\bigr)$$

usando el integral elíptica incompleta de segundo tipo $E(\varphi\,|\,m)$. En sintaxis de Mathematica (y adecuado para Wolfram Alpha esto se puede escribir como

2.23*EllipticE[ArcTan[3.05/2.23*Tan[50°]],1-(3.05/2.23)^2]

Adapté esto de esta publicación que investiga el problema inverso (dado el arco, encontrar el ángulo) pero de igual manera trata este enfoque del problema. Como se señala allí, esta conversión de ángulos solo funciona para el primer y último cuadrante. De lo contrario, ajusta el ángulo o mira esa publicación para una fórmula alternativa para usar en su lugar.

Con unos cuantos dígitos más de precisión, la respuesta se devuelve como $2.5314195265536624417$ lo cual coincide prácticamente con las otras respuestas aquí. Por supuesto, imprimir tantos dígitos en la respuesta es muy mala práctica si la entrada solo se da con dos decimales. Esto muestra que la integración numérica hecha por Jyrki es un poco menos precisa que lo que hizo coffeemath, pero incluso él teóricamente debería haber redondeado en la otra dirección.

Ten en cuenta que la fórmula anterior solo funciona para $-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2$. Para $\frac\pi2<\theta<\pi$ el resultado de $\tan^{-1}$ representará $\theta-\pi$ por lo que para corregir eso puedes agregar $\pi$ a ese resultado. Similar para $-\pi<\theta<-\frac\pi2$ donde necesitas restar $\pi$ del resultado de $\tan^{-1}$. En general, quieres que la primera entrada a la función $E$ sea un ángulo en el mismo cuadrante que $\theta$, agregando múltiplos enteros de $\pi$ según sea necesario.

Answer 3

Dando un cálculo de Mathematica. Mismo resultado que coffeemath (+1)

In[1]:= ArcTan[3.05*Tan[5Pi/18]/2.23]
Out[1]= 1.02051
In[2]:= x=3.05 Cos[t];
In[3]:= y=2.23 Sin[t];
In[4]:= NIntegrate[Sqrt[D[x,t]^2+D[y,t]^2],{t,0,1.02051}]
Out[4]= 2.53143

Answer 4

Creo que encontré esta aproximación asintótica de la integral elíptica de segundo tipo de Jacobi hace algún tiempo. No es precisa, pero converge exactamente para casos degenerados de $b=0$ (líneas) y $b=a$ (círculos). Los métodos de series infinitas son ideales cuando se desea precisión. Ofrezco esto solo como una curiosidad. El último término, agregado recientemente, contribuye poco, pero garantiza la convergencia para círculos. Supongamos $0\le b\le a$. Entonces $$ s\approx 2 \pi \sqrt{a b}+(4 a)^{\frac{a-b}{a+b}} -a^{b-a}. $$