¿Existe una fórmula que nos diga cuántos factores primos distintos tiene un número? Tenemos soluciones de forma cerrada para el número de factores que tiene un número y la suma de esos factores, pero no para el número de factores primos distintos.
Así, por ejemplo: \begin{array}{rr} \text{number} & \text{distinct}\atop \text{prime factors} \\ 1&0 \\ 2&1 \\ 3&1 \\ 4&1 \\ 5&1 \\ 6&2 \\ 7&1 \\ 8&1 \\ 9&1 \\ 10&2 \end{array}
Se trata de una cuestión históricamente interesante, ya que llevó a Hardy y Ramanujan a sentar las bases de la teoría numérica probabilística en el curso de su solución a este problema. Dado $n$ no existe una fórmula de forma cerrada determinista no trivial para el número de factores primos distintos de $n$ . Sin embargo, tenemos una fórmula probabilística muy buena para la misma.
Hardy y Ramanujan demostraron que para casi todos los enteros, el número es primos distintos que dividen a un número $n$ es fórmula
$$ \omega(n) \sim \log\log n. $$
Podemos hacerlo mucho mejor que la estimación de Hardy-Ramanujan y encontrar una estimación de $\omega(n)$ que puede ser acotado por la distribución normal. Erdos y Kac imporaron la estimación de $\omega(n)$ y demostró que
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\# \Big\{n\le x, \frac{\omega(n) - \log\log n}{\sqrt{\log\log n}} \le t \Big\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{t}e^{-\frac{u^2}{2}}du $$
Esta fórmula dice que si $n$ es un número grande, podemos estimar la distribución del número de factores primos para números de este rango. Por ejemplo, podemos demostrar que alrededor del 12,6% de los números de 10.000 cifras se construyen a partir de 10 números primos distintos y alrededor del 68% (± $\sigma$ ) se construyen a partir de entre 7 y 13 primos distintos.
"para casi todos los números enteros, el número es primos distintos que dividen a un número $n$ viene dada por la fórmula asintótica" no tiene sentido. Las fórmulas asintóticas no se aplican a instancias individuales; no podrías citar un solo número $n$ para la cual la fórmula da su número de primos distintos.
Sí, asintótica no es la palabra correcta, pero el resultado sigue siendo el mismo. Este es un resultado probabilístico.
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¿A qué soluciones de forma cerrada se refiere? Si se refiere a $d(n) = \prod_{p^r \| n} (r+1)$ entonces, ¿qué hay de malo en $\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1$ ?