límite existe o no

Question

Considere la función $f$:R$\rightarrow $R definida por $$f(x) =\begin{cases}x-1, &\text{if $x$ is rational} \\5-x,&\text{if $x$ is irrational}\end{cases}$$ Entonces $\space\lim\limits_{x\to a}$$f(x)$, $a\in\ R-\{\ 3\}$, existe o no existe ?

Solución: Deje $a$ ser un número irracional .Entonces

La mano derecha del límite y de la mano izquierda de límite son como sigue;

$\space\lim\limits_{x\to a^+}$$f(x)$ =$\space\lim\limits_{h\to 0}$$f(a+h)$; $\space$$\space\lim\limits_{x\to a^-}$$f(x)$ =$\space\lim\limits_{h\to 0}$$f(a-h)$

Como h$\rightarrow$$0$, ahora supongamos que $h$ ser un número racional, entonces $a+h$ $a-h$ ambos son irracionales . Por lo tanto

R. H. L. =$\space\lim\limits_{x\to a^+}$$f(x)$ =$\space\lim\limits_{h\to 0}$$f(a+h)$=$\space\lim\limits_{h\to o}$$5-(a+h)$$\space$=$\space$$5-a$

Similiarly

L. H. L.$\space$=$5-a$

De ahí que el límite existe.

Ahora, de nuevo, supongamos que $h$ ser irracional, a continuación, $a+h$ $a-h$ puede ser racional o irracional, entonces la L. H. L. y R. H. L. pueden o no pueden ser iguales y, por tanto, el límite puede o no puede existir.Pero en mi folleto la pregunta dice que el límite existe sólo si $a=3$. ¿Es cierto o equivocado ?

Answer 1

Deje $a\in\mathbb R$. Entonces existe una secuencia $q_n = \frac{\lfloor n a+1\rfloor}n$

A continuación,$q_n\neq a\ \forall\ n\in N$. También se $q_n\in\mathbb Q$ (racional) para todos los $n$.

Como sabemos que

$$x-1<\lfloor x\rfloor\leq x\qquad \forall\ x\in\mathbb R.$$

De esto se sigue

\begin{align*} \frac{na+1-1}{n}&<\frac{\lfloor na+1\rfloor}{n}\leq \frac {na+1}{n}\\ \lim_{n\to\infty}\frac{na+1-1-1}{n}&\leq\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor na+1\rfloor}{n}\leq\lim_{n\to\infty} \frac {na+1}{n}\\ a&\leq \lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor na+1\rfloor}{n}\leq a \end{align*}

y aplicando el sándwich/obtenemos el teorema del sándwich

$$\lim_{n\to\infty}q_n=a.$$

Del mismo modo, existe la secuencia de $r_n = q_n + \frac{\sqrt{2}}n$

Tenemos $$r_n\neq a\qquad \forall\ n\in \mathbb N.$$

Más $r_n\to a$ $n\to\infty$ $r_n\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ (irracional) para todos los $n$. Ahora nos fijamos en $$ \lim_{n\to\infty}f(q_n) = \lim_{n\to\infty} q_n - 1 = a-1 $$ y $$ \lim_{n\to\infty}f(r_n) = \lim_{n\to\infty} 5 - r_n = 5-un $$ Si el límite de $\lim_{x\to a}f(x)$ debe existir, tanto de los de arriba limites debe dar el mismo valor. Obviamente, esto no es el caso para $a\neq 3$.

Answer 2

La función converge a $a-1$ sobre racionales, mientras que converge a $5-a$ en irrationals. Así que la función converge en los reales iff los dos límites coinciden, $a-1=5-a$, es decir,$a=3$.