Aquí es un ejemplo claro de un incondicionalmente convergente la serie en $\ell_1$ que no es absolutamente convergente.
Vamos
$$
A_0=\left[\matriz {1}\right]
$$
y definir $x_1=(1,0,0,\ldots)$.
Conjunto
$$\estilo de texto
A_1=\left[\matriz {{1\over2}&\phantom{-}{1\over2}\cr{1\over2} y{1\over2}\cr}\right].
$$
Definir $x_2$ $x_3$ a ser los vectores en $\ell_1$ correspondiente a las filas de $A_1$ rellena con un cero en la primera coordenada y se rellena con ceros a la derecha.
Las filas de $A_1$ son esencialmente las dos primeras funciones de Rademacher visto como elementos en $\ell_1$. Por Khintchine la desigualdad, tenemos
$$
\biggl\Vert\,\sum_{i=2}^3 c_i x_i\,\biggr\Vert_{\ell_1}
\le K \Bigl(\,\sum_{i=2}^3 c_i^2\,\Bigr)^{1/2},
$$
para cualquier elección de escalares $c_i$ donde $K$ es la constante en Khintchine la desigualdad.
Vamos
$$\estilo de texto
A_2=\left[\matriz {
{1\over8} &\phantom{-}{1\over8} &\phantom{-}{1\over8} &\phantom{-}{1\over8}
&\phantom{-} {1\over8} &\phantom{-} {1\over8} &\phantom{-}{1\over8} &\phantom{-}
{1\over8} \cr
{1\over8} &\phantom{-} {1\over8} &\phantom{-}{1\over8} &\phantom{-}{1\over8}
Y-{1\over8} y{1\over8} y{1\over8} y{1\over8} \cr
{1\over8} &\phantom{-} {1\over8} y{1\over8} y{1\over8} &\phantom{-}{1\over8}
&\phantom{-} {1\over8} y {1\over8} y{1\over8} \cr
{1\over8} y {1\over8} &\phantom{-}{1\over8} y{1\over8} &\phantom{-}{1\over8}
Y-{1\over8} &\phantom{-}{1\over8} y{1\over8} \cr
}\right].
$$
Definir $x_4$, $x_5$, $x_6$, y $x_7$ a ser los vectores en $\ell_1$ correspondiente a las filas de $A_2$ se rellenan con ceros en las tres primeras coordenadas y se rellena con ceros a la derecha.
Las filas de $A_2$ son esencialmente la primera de cuatro funciones de Rademacher visto como elementos en $\ell_1$.
Por Khintchine la desigualdad
$$
\biggl\Vert\,\sum_{i=4}^7 c_i x_i\,\biggr\Vert_{\ell_1}
\le K \Bigl(\,\sum_{i=4}^7 c_i^2\,\Bigr)^{1/2},
$$
para cualquier elección de escalares $c_i$.
Después construimos $A_3$ $8\times128$ "Rademacher matriz". Definimos $x_8$, $x_9$, $\ldots\,$, $x_{15}$ a ser los vectores en $\ell_1$ correspondiente a las filas de $A_3$ collar en forma adecuada (disjointly apoyado desde el anterior $x_i$). Entonces tenemos
$$
\biggl\Vert\,\sum_{i=8}^{15} c_i x_i\,\biggr\Vert_{\ell_1}
\le K \Bigl(\,\sum_{i=8}^{15} c_i^2\,\Bigr)^{1/2},
$$
para cualquier elección de escalares $c_i$.
$$\vdots$$
Tenga en cuenta la suma de $\sum\limits_{i=1}^\infty {1\over i} x_i$.
Deje $n$ ser un número entero. Elija el entero más grande $m$ $2^m\le n$ y el conjunto de
$$
c_i=\casos{\estilo de texto{1\over i},&$i\ge n$\cr 0,\strut& lo contrario.}
$$
Tenemos, entonces, el uso de la "disjointness" de la $A_i$, para cualquier elección de signos
$\{\epsilon_i\}$:
$$\eqalign{
\biggl\Vert\sum_{i=n}^\infty \, {\estilo de texto{1\over i}}\epsilon_i x_i\biggr\Vert_{\ell_1}\,
&=\sum_{i=m}^\infty \,\, \biggl\Vert \,\sum_{x_j\en A_i}
\epsilon_j{c_j} x_j\,\biggr \Vert_{\ell_1} \cr
&\le K\sum_{i=m}^\infty \Bigr( \,\sum_{j=2^i}^{2^{i+1}-1}
{\estilo de texto{(\epsilon_j c_j)^2}}\,\Bigl)^{1/2}\cr
&\le K\sum_{i=m}^\infty \Bigr( \,\sum_{j=2^i}^{2^{i+1}-1}
{\estilo de texto{1\over j^2}}\,\Bigl)^{1/2}\cr
&\le K\sum_{i=m}^\infty \bigl(\estilo de texto{1\over2^i}\bigr)^{1/2}\cr
Y= {K (1/\sqrt2)^{m-1}\(\sqrt2-1)}\cr
&\buildrel{n\rightarrow\infty}\over\longrightarrow0.
}
$$
De ello se sigue que la suma de $\sum\limits_{i=1}^\infty {1\over i} x_i$ es incondicionalmente convergente en $\ell_1$.
Pero,
tomando nota de que el $\ell_1$-norma de cualquier $x_i$ es 1, tenemos
$$
\sum\limits_{i=1}^\infty \bigl\Vert {\estilo de texto{1\over i}}x_i\bigr\Vert_{\ell_1}
=\sum\limits_{i=1}^\infty{\estilo de texto{1\over i}}=\infty;
$$
y por lo tanto $\sum\limits_{i=1}^\infty {1\over i} x_i$ es no es absolutamente convergente en $\ell_1$.
