La realización tanto de los límites de integración cero

Question

Me encontré con una pregunta, mientras que la evaluación de la integral:

$$ \int_{0}^{\pi}\frac{\cos{t}}{1+9\sin^2{t}}\, dt $$

Si sustituye $u=3\sin{t}$, se obtiene:

$$ \int_{0}^{0}\frac{1}{3+3u^2}\, du $$

En el que se evalúa a cero porque(?) los límites son ambos cero.

Pero entonces, ¿no puede sustituir a cualquier expresión arbitraria de cambiar tanto los límites a cero, haciendo que el valor cero? Así, en la evaluación de:

$$\int_{0}^{1}x\,dx$$

Podríamos sustituir $u = x^2-x$ o algunos expresión trigonométrica de cambiar tanto los límites a cero. Claramente hay un error aquí, pero que parte de esta sustitución no es válido?

Answer 1

No hay ningún problema. Véase el comentario de @BabyDragon arriba.

Tenga en cuenta que el integrando satisface $f(\frac{\pi}{2}-x) = -f(\frac{\pi}{2}+x)$ sobre el rango de integración, por lo que la respuesta es cero.

Con respecto a la última observación, tenga en cuenta que para suficientemente liso $f,u$, tenemos $$ \int_{u(a)}^{u(b)} f(x) dx = \int_a^b f(u(t))u'(t) dt$$

Con $a=0$, $b=1$, $f(x) = x$, y $u(t) = t^2-t$, esto se traducirá en

$$\int_0^0x dx = \int_0^1 (t^2-t)(2t-1)dt = 0$$

En particular, tenga en cuenta cómo el cambio de las variables afecta a la integración de los límites.

Answer 2

Una idea así que no hay sustitución serán necesarios, basados en $\displaystyle{\int\frac{f'}{1+f^2}=\arctan f}\;:$

$$\int\limits_0^\pi\frac{\cos t}{1+9\sin^2t}dt=\int\limits_0^\pi\frac{\cos t}{1+(3\sin t)^2}dt=$$

$$=\frac{1}{3}\int\limits_0^\pi\frac{(3\sin t)'dt}{1+(3\sin t)^2}=\left.\frac{1}{3}\arctan(3\sin t)\right|_0^\pi=\frac{1}{3}\left[\arctan 0-\arctan 0\right]=0$$