Una fórmula para $\lfloor n\rfloor+\left\lfloor \frac n2\right\rfloor+ \left\lfloor \frac n3\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor \frac nk\right\rfloor$?

Question

¿Hay alguna fórmula para calcular: $$\lfloor n\rfloor+\left\lfloor \frac n2\right\rfloor+ \left\lfloor \frac n3\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor \frac nk\right\rfloor$$ con $n$ $k$ enteros positivos y $k\leq n$.

Answer 1

No parece que exista una cerrada fórmula. De hecho, vamos a denotar la suma que se calcula por $S_{n,k}$. Especializada para el caso de $k=n$ corresponde a la entrada A006218 en OEIS, que sólo proporciona estimaciones asintóticas: $$n \left(\ln n + 2 \gamma - 1\right) - 4 \sqrt n - 1 \leq S_{n,n} \leq n \left(\ln n + 2 \gamma - 1\right) + 4 \sqrt n.$$