Parece bien sabido que el incentro de un triángulo se encuentra en la línea de Euler si y sólo si el triángulo es isósceles (o equilátero, pero eso es trivial). Buscando en internet, no he podido encontrar una simple prueba geométrica de este hecho. ¿Alguien puede proporcionar una prueba? También, cuando el incentro se encuentra en la línea de Euler, ¿ a que lo haga en un conjunto de ubicación? (Sabemos, por ejemplo, el centroide es un tercio de la distancia del circuncentro al ortocentro en la línea de Euler, ¿el incentro satisfacer cualquier agradable relaciones, como que?)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He aquí una bonita prueba por contradicción.
Deje que el incentro $I$ mentira en la línea de Euler de $ABC$.
Se sabe que el ortocentro $H$ y el circuncentro $O$ son isogonal conjugados, es decir, $AI$ es la bisectriz del ángulo $HAO$.
Por lo tanto, (si el punto de $A$ no se encuentran en línea de Euler) $HA/AO=HI/IO$ (teorema de la bisectriz de un ángulo). También se $HB/BO=HC/CO=HI/IO=HA/AO$. Y sabemos que todos los puntos de $X$, de tal manera que $YX/ZX=const$, se encuentran en un círculo con el centro en la línea de $YZ$ (Appolonius círculo)
Por eso, $A, B, C$ $I$ se encuentra en el mismo círculo, y que no puede ser cierto. Hemos asumido que todos los puntos de $A, B, C$ no se encuentran en la línea de Euler, así, uno de ellos se encuentra en la línea de Euler y eso significa que $ABC$ es isósceles.
Nikolai Prokoschenko
Puntos
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Un enfoque podría ser la utilización de coordenadas trilineales y muestran que la incentre en $1:1:1$ es generalmente no colineales, por ejemplo, el circumcentre en $\cos A :\cos B :\cos C$ y el orthocentre en $\sec A :\sec B :\sec C$ observando el determinado
$$\begin{vmatrix}1&1&1\\ \cos A &\cos B &\cos C\\ \sec A &\sec B &\sec C\end{vmatrix}$$
que no es cero, a menos que al menos dos de $A$, $B$ y $C$ son iguales.
