Pregunta rápida, que parece irritar a algunas personas, ya que al parecer les parece una pregunta sin sentido: ¿por Qué la ley distributiva de trabajar sólo en una dirección (en $(ℝ,+,*)$)? Por qué funciona de esta manera:
$$ a * (b + c) = (a * b) + (a * c) $$
Pero no de esta forma:
$$ a + (b * c) = (a + b) * (a + c) $$
Cuál es acerca de la forma en que la adición y la multiplicación son construidos/compuesto que inhibe esta forma de uso? (en ℝ específicamente)
Cuando las matemáticas se inicia en el muy básico, prácticamente definir la multiplicación de modo que es distributiva.
En los números naturales $1,2,\dots$ empezar con:
$$1\cdot n = n\\ (m+1)\cdot n = (m\cdot n) + n$$
Este es el recursiva manera de decir que $m\cdot n$ es la suma de $m$ copias de $n$, pero ya vemos que la segunda regla es el aspecto de la ley distributiva.
A partir de esta definición de la multiplicación, puede probar ambas direcciones de la ley distributiva más fácilmente de lo que podemos demostrar que la multiplicación es conmutativa.
En general, vamos a empezar con un relativamente más fácil noción de "plus" o adición. Por ejemplo, la adición de matrices es muy simple:
$$\begin{pmatrix}a_1&b_1\\ c_1&d_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_2&b_2\\ c_2&d_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+a_2&b_1+b_2\\ c_1+c_2&d_1+d_2\end{pmatrix} $$
La multiplicación es mucho más feo y menos obvio (al primero aprender) cosa. La multiplicación no es aún conmutativa en las matrices.
$$\begin{pmatrix}a_1&b_1\\ c_1&d_1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_2&b_2\\ c_2&d_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1a_2+b_1c_2&a_1b_2+b_1d_2\\ c_1a_2+d_1c_2&c_1b_2+d_1d_2\end{pmatrix} $$
Por lo que el profundo "por qué" es en la complejidad de la multiplicación se define generalmente en términos de la adición.
La multiplicación de números reales es un ejemplo de esto. Si los números reales son considerados geométricamente como la longitud, a continuación, para entender, además de positivos reales, usted puede permanecer en una línea." La única geométricas vistas de la multiplicación de reales requieren un paso hacia una dimensión superior - usted necesita hablar acerca de las áreas, o el uso de líneas paralelas.
La geometría también sólo tiene más sentido que el original distributiva de la ley - esto significa que usted puede conectar dos rectángulos con los bordes del mismo tamaño para obtener un rectángulo de mayor tamaño, y el nuevo rectángulo tiene área de la suma de los dos originales de los rectángulos.
No hay tal sentido geométrico para $a+bc$ - incluso falla básica de las unidades de prueba". Uno es la medida de área, el otro es una medida de longitud. Es una maravilla que podemos convertir el área en una longitud de todo para agregar$a$$bc$, pero la geometría es todo malo para conseguir $a+b^2=(a+b)(a+c)$.
No existe una manera de "hacer" dos operaciones definidas tanto a distribuir, pero hay álgebras con dos operaciones donde ambos distribuir, distributiva retículos y álgebras booleanas.
Puede crear dos operaciones en $\mathbb R,$ $+_m$ y $\cdot_m$ que se definen como:
$$a+_m b = \min(a,b)\\ un\cdot_m b = \max(a,b)$$
Este es sólo el tratamiento de la orden en los reales como una celosía distributivo.
Para celosías en general, por lo general, el uso de los símbolos de operador $\cap$ $\cup$ o $\land$$\lor$. Estos símbolos indican la simetría. Que nunca llegaría un entramado de usar$+$$\cdot$, porque no encaja en el "patrón" de la adición y la multiplicación. (En álgebras Booleanas, de vez en cuando ver $\cap$ escrito como $\cdot$, pero $+$ es algo más raro en ese caso).
Estos dos operadores son muy diferentes de los habituales $+,\cdot$. No hay identidad, ya sea para la operación (aunque se puede agregar $+\infty$ $-\infty$ de identidades) y ha $a\cdot_m a = a+_ma=a$.
Esto realmente sólo tiene sentido si usted ha tomado un poco de álgebra.
Dado cualquier grupo Abelian $(A,+)$, la $R=\mathrm{End}(A)$ de homomorphisms $A\to A$ forma un anillo con identidad mediante la definición de $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$$(f\cdot g)(a)==(f\circ g)(a)=f(g(a))$.
Resulta que, cada anillo de $R$ es básicamente un subconjunto de un endomorfismo anillo. La ley distributiva es lo que hace que sea posible:
$$R\hookrightarrow End(R,+)$$
Que es el más trivial de "representación" de $R$, pero, por ejemplo, en el caso de las matrices, hay más sencillo abelian grupos a utilizar.
Así que, digamos que solo tienen la noción de adición y una orden ($<$) en los números reales.
Resulta que, para cada una de las $r\in\mathbb R$ hay un único, $f_r\in\mathrm{End}(\mathbb R)$ ha $f_r(1)=r$, y que es "agradable" con respecto a la noción de entre-ness - si $c$ entre $a$ $b$ (inclusive), a continuación, $f_r(c)$ entre $f_r(a),f_r(b)$ (incl.) (Este "entre-ness condición puede ser visto como exigir $f_r$ a de ser continuo.)
Por lo tanto, hay un mapa:
$$\mathbb R\hookrightarrow \mathrm{End}(\mathbb R,+)\\r\mapsto f_r$$
Ahora podemos definir la multiplicación en $\mathbb R$$r\cdot s=f_r(s)$. Se necesita un poco de esfuerzo para demostrar que esto funciona, pero la más destacable no es que la multiplicación es distributiva - que está integrado en la naturaleza de cómo hemos definido endomorphisms. Lo notable es que la multiplicación es asociativa y conmutativa.
[Es más fácil definir la multiplicación en los números enteros y racionales, porque no se requerirá la orden de parte - si $A=(\mathbb Q,+)$ o $(\mathbb Z,+)$, entonces hay exactamente una $f_p\in\mathrm{End}(A)$ que satisface $f_p(1)=p$.]
Esta noción de endomorphisms es realmente muy útil. Por ejemplo, un vector de un espacio puede ser definido como un grupo abelian y un campo de $k$ con un anillo homomorphism: $$k\hookrightarrow \mathrm{End}(A)$$
Y lo mismo para $R$-módulos, aunque en ese caso el mapa de $R\to \mathrm{End}(A)$ no es necesario que sea una inclusión.
Una última cosa a tener en cuenta es preguntarse qué ocurre cuando las unidades están en uso.
Sólo se pueden añadir dos números si son de la misma "unidades". No añada $1$ pulgadas a $2$ metros. Usted tiene que convertir las unidades en ese caso. Ciertamente no se puede agregar $1$ metro por segundo $2$ metros.
Sin embargo, usted puede multiplicar dos números con ninguna de las unidades, que acaba de obtener una unidad diferente. por ejemplo: $1\text{ m/s}\times 3\text{ s}=3m$.
Así, en la ecuación de $a(b+c)=ab+ac$, se obtiene las mismas unidades y están "permitidos" para realizar esta operación si $b$ $c$ tienen las mismas unidades.
Pero si usted ha $a+bc=(a+b)(a+c)$, entonces el lado derecho requeriría $a,b,c$ $bc$ a todos tener las mismas unidades. Que esencialmente significa que no puede tener unidades, a menos que usted puede encontrar una unidad de $u$ tal que $u^2$ es la misma unidad de medida $u$.
Mi forma de interpretar la ley distributiva en una imagen:
La razón por qué la gente se molesta con cosas como esta es porque consideran que las operaciones de $+$ $\times$ como símbolos, no a los procesos actuales.
El índice del nivel de leyes cuando se utiliza $\times$ nos permite relacionar la multiplicación con las dimensiones.
De la suma de las leyes respecto a los "términos semejantes" significa no sólo podemos simplificar dos entidades de estos "separar" las dimensiones.
A partir de una imagen: "La salida de el operador * se pueden visualizar mediante la adición de dimensiones (medida por el índice leyes, x^2 * x^3 = x^5" "La salida de la + operador puede visualizarse como agrupar dos de la misma dimensión de los objetos juntos." "Si usted se imagina que x=a=b=c y aplicar la ley distributiva, que terminará con la no-términos similares. es decir, no se puede grupo x^2 y x términos"
Actualización: La versión anterior de esta respuesta fue un poco engañoso, lo que sugiere que podría ser no trivial de los anillos, donde la suma se distribuye sobre el producto.
Supongamos que $(A,+,*)$ es un anillo donde $+$ distribuye más de $*$, es decir, donde $$ a + b*c = (a+b)*(a+c) \quad \text{para todo } a,b,c \R. \etiqueta{1} \label{eq:dist} $$ Por definición de anillo, debe ser un elemento $0 \in A$ que actúa como la identidad de $+$, por lo tanto $$ a = a + 0 = (a+0)*(a+0) = a*a \quad \text{para todo } \en Un $$ y un anillo donde cada elemento es idempotente se llama un anillo Booleano. Por otro lado, desde la $A$ es un anillo sabemos que $0*a = 0$ por cada $a \in A$, lo $\eqref{eq:dist}$ implica que debemos también tener $$ a = a + 0*a = (a + 0)*(a+a) = a*a + a*a = a+a $$ y sumando a ambos lados el inverso aditivo de a $a$ - que debe existir para $A$ a ser un anillo - da $$ 0 = a. $$ Por lo tanto, el único anillo donde se $\eqref{eq:dist}$ puede contener es la trivial anillo, $A = \{0\}$.
En caso de que esto no era clara, $(\Bbb{R},+,*)$ es un anillo, y claramente $\Bbb{R} \neq \{0\}$.
Por otro lado, los anillos no son el único tipo de estructura algebraica compuesta de un conjunto con dos operaciones que se definen en ella, y para cada una de esas podemos definir una noción de la distributividad.
Por ejemplo, puede probarse que en un entramado $(L,\vee,\wedge)$ si una operación se distribuye a través de la otra, entonces el recíproco también debe tener, también. En otras palabras, tenemos que $$ un \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c) \quad \text{para todo } a,b,c \en L $$ si y sólo si $$ un \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \quad \text{para todo } a,b,c \en L $$ y en este caso el enrejado es simplemente dijo ser distributiva. En su respuesta, Thomas Andrews dio un ejemplo de distribución estructura de celosía en $\Bbb{R}$.
No muy "exacto", pero se puede ver de esta manera:
$$a * (b + c) = \underbrace{(b + c) + \dots + (b + c)}_{a \text{ times}} = \underbrace{b + \dots + b}_{a \text{ times}} + \underbrace{c + \dots + c}_{a \text{ times}} = (a * b) + (a * c)$$
Pero esto no va a funcionar:$$a + (b * c) = a + \underbrace{c \dots + c}_{b \text{ times}} \neq\underbrace{ (a + c) + \dots + (a + c)}_{(a + b) \text{ times}} = (a + b) * (a + c)$$
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