Estoy estudiando un texto de licenciatura sobre lógica matemática. Las pruebas de los dos teoremas de incompletitud de Gödel no son completamente formales: se admite que son más simples que las pruebas reales. Por lo que he entendido, deduzco que los dos teoremas son válidos tanto para la lógica clásica como para la intuicionista.
¿Es correcta mi deducción?
La demostración habitual del Primer Teorema de Incompletitud de Gödel es totalmente constructiva. No tenemos que confiar en el medio excluido, ni tenemos que confiar en probar una cuantificación existencial para la que no podemos producir un testigo. Para recordar: la prueba consiste en (a) dar una receta que toma una especificación adecuada de una teoría suficientemente fuerte $T$ y construye una frase determinada $G_T$ y luego (b) mostrar $G_T$ es indecidible en esa teoría. La construcción de $G_T$ es inteligente aunque simple cuando se ve cómo, y no implica ideas infinitas. La prueba de indecidibilidad implica un par de reducciones, pero ambas del tipo no contencioso [como "Supongamos $T \vdash G_T$ : entonces es una contradicción; así que $T \nvdash G_T$ "]. Así que en general la prueba es intuitivamente aceptable.
La demostración habitual del Segundo Teorema de Incompletitud consiste entonces, en el fondo, en mostrar que la demostración del Primer Teorema puede codificarse en aritmética. De nuevo, todo es constructivo y, por tanto, intuitivamente aceptable.
Para responder a la pregunta en base a los comentarios ya publicados:
¿Son los teoremas de incompletitud de Godel válidos tanto para la lógica clásica como para la lógica intuicionista?
En cierto sentido, sí.
PERO
Los teoremas de incompletitud de Goedel se aplican primero a lógica clásica
El teorema de incompletitud de Goedel y su demostración es constructivo pero no es intuitivamente constructivo ( El documento de Goedel )
¿Por qué?
El propio Goedel afirmó en su artículo que el procedimiento anterior es " constructivamente inobjetable ", sin embargo
a) La referencia de Goedel al contructivismo (intuicionismo), es más bien formal que real (se detalla más adelante)
b) las variaciones de LEM (ley del medio excluido) se utilizan a lo largo de la prueba de Godel
c) combinado con el uso de un procedimiento de diagonalización
(véase también La prueba de Gödel y el intuicionismo para otro análisis)
¿Se aplica lo mismo a la lógica intuicionista?
En cierto sentido, sí.
PERO
¿Por qué?
a) traducción negativa de la lógica clásica a la lógica intuicionista no es intuicionismo más bien un analogía formal porque la semántica de lo que constituye una construcción, una prueba, una implicación y, por supuesto, la definición/construcción de nuevas entidades basadas únicamente en entidades previamente construidas es totalmente diferente, siendo clásico que intuicionista (y lo mismo ocurre con la prueba de incompletitud original, donde estas condiciones no se formalizan ni se cumplen) (véase también La interpretación de Kolmogorov de la lógica intuicionista como problema )
b) el intuicionismo, en cierto sentido, ya ha incorporado los teoremas de incompletitud, ya que acepta afirmaciones que no pueden ser demostradas ni refutadas (en un momento dado)
c) el propio Brouwer previó los resultados de Goedel al menos una década antes (nota: el propio Goedel había asistido a las conferencias de Brouwer sobre los fundamentos de las matemáticas)
Cita de Entendimiento de la matemática constructiva de Artemov (Conferencia de Spinoza)
Y también de aquí
Perspectiva Intuicionista vs. Clásica
Intuicionistas normalmente basan sus sistemas formales en la intuición de lo constructivo, por ejemplo, Estilo BHK semántica informal, más que sobre fundamentos clásicos...
Matemáticos clásicos (como Gödel, Kolmogorov, Kleene, Novikov y otros) buscan una rigurosa
definición clásica de la semántica constructiva.
Y de A. Heyting, Intuitionism An Introduction
A la luz de los resultados de incompletitud de Goedel anteriores sí se sostienen para la lógica intuicionista de manera formal (con semántica clásica) pero no para el intuicionismo (que en cualquier caso no necesita ningún resultado de incompletitud ya que ya están incrustados en la práctica y la semántica)
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