¿Cómo puedo definir el producto de dos ideales categóricamente?

Question

Dado un anillo conmutativo $R$, hay una categoría cuyos objetos son epimorphisms surjective anillo homomorphisms $R \S$ y cuyos morfismos son conmutativas triángulos que dos epimorphisms surjections compatible, y el esqueleto de esta categoría es un orden parcial que puede ser identificado con el entramado de los ideales de $R$. Ahora, siempre he estado bajo la impresión de que nada se puede decir acerca de los ideales que uno puede frase en este puramente flecha de la teoría de la lengua: lo que es más importante, la intersección de los ideales es el producto en esta categoría y la suma de los ideales es el subproducto. (Ya que estamos trabajando en un orden parcial, producto y subproducto son elegantes maneras de decir supremum y infimum. La dirección de la implícita la ordenación de los ideales pueden diferir aquí de la que estás acostumbrado, pero eso no es importante.)

Sin embargo, Harry hizo algunos comentarios recientemente que me hizo darme cuenta de que yo no sé cómo definir el producto de dos ideales en términos puramente de esta categoría, es decir, a través de un universal de la construcción como el de arriba. Sería realmente sorprendente para mí, si esto no fuera posible, así que tal vez me estoy perdiendo algo que es obvio. ¿Alguien sabe cómo hacer esto?

Answer 1

Buena pregunta! La respuesta es que no es posible! Vamos a $R=\mathbb{F}_3[x,y]/(x^2,y^2)$. El entramado de los ideales consta de los ocho ideales

$(1)$

$(x,y)$

$(x)$ $(y)$ $(x+y)$ $(x-y)$

$(xy)$

$(0)$,

en el que cada ideal contiene todos los ideales en los niveles inferiores. En el nivel medio, algunos de los ideales se han plaza de cero, y algunos no, pero usted no puede decir que con solo ver el (sin etiqueta) de celosía.

Answer 2

Bjorn respuesta muestra que el producto de dos ideales no pueden ser definidas por medio de la parcialmente ordenado conjunto de ideales. Sin embargo, no es una categoría de la teoría de la definición del producto de dos ideales si nos permitimos el uso de la categoría de módulos. Esto funciona porque de los Rosenberg reconstrucción Teorema.

Explícitamente, no es un bijection entre los ideales de $R$ y reflexivo, topologizing subcategorías de $\text{Mod}(R)$, que está dada por $I \a \{M \en \text{Mod}(R) : I M = 0\}$. Si $T$ es una subcategoría con reflector $F : \text{Mod}(R) \T$, entonces el correspondiente ideal es de $I=\ker(R \a F(R))$. Ahora, la multiplicación de los ideales corresponde a los llamados Gabriel producto: Si $S,T$ subcategorías de una abelian categoría, entonces $\bullet T$ es la subcategoría que se compone de los objetos $M$ para el que no hay una secuencia exacta $0 \a M' \M \M" \to 0$ con $M' \en T, M" \in S$. La idea de que la notación es de $(S \bullet T)/T = S$.