Podemos definir la cardinalidad como una relación de equivalencia sobre los conjuntos. Pero la clase de todos los conjuntos no es un conjunto, entonces, ¿cómo hacemos eso? En particular, estoy interesado en la propuesta de que las clases de equivalencia forman una partición del conjunto inicial. Parece que no puede ser traducido a la cardinalidad, pero no sé cómo, al menos en ZFC (y yo no sé ni ZFC :))
Respuesta
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Podemos definir la cardinalidad como usted dice: Dos conjuntos son equipotente (o tienen la misma cardinalidad) iff hay un bijection entre ellos.
Usted puede probar directamente que esta noción es reflexiva, simétrica y transitiva. Por ejemplo, la última declaración es: Para cualquier conjuntos de $A,B,C$, si hay un bijection de $A$ $B$y un bijection de$B$$C$, entonces no es un bijection de$A$$C$. Tenga en cuenta que esto no requiere que hacemos referencia directamente a la colección de clases de equivalencia o, incluso, que podemos considerar una sola clase de equivalencia como un objeto dado. Lo que quiero decir es: que podemos hacer todo lo que tenemos que hacer sin hablar sobre la forma correcta de clases o colecciones de adecuado de las clases.
Lo que sería la declaración correspondiente a "las clases de equivalencia de una relación de equivalencia sobre un conjunto no vacío forman una partición del conjunto, en no vacía de subconjuntos"? Simplemente la conjunción de las dos instrucciones siguientes: 1. "La cardinalidad se define para todos los conjuntos", que simplemente significa que dados cualesquiera dos conjuntos de $A$$B$, la declaración "$A$ $B$ tienen la misma cardinalidad" es significativo, y es verdadera o falsa. Pero, por supuesto, que es el caso, ya que los $A$ $B$ tienen la misma cardinalidad si hay un bijection entre ellos, esta es la definición misma. De hecho, "$A$ $B$ tienen la misma cardinalidad" es simplemente una lingüística de acceso directo para "no es un bijection entre el$A$$B$". 2. "Dados dos conjuntos a$A$$B$, si hay un $C$ tal que $A$ $C$ tienen la misma cardinalidad y también a $B$ $C$ tienen la misma cardinalidad, entonces do$A$$B$." Y esto puede ser demostrado fácilmente en la forma esperada.
Todo esto puede ser fácilmente formalizado en la teoría de conjuntos (ZFC o incluso mucho más débil de los sistemas). De nuevo, el punto es que no es necesario directamente argumentar sobre la forma correcta de clases o colecciones de clases (pero, si lo desea, a continuación, también hay conjunto adecuado de las teorías, tales como MK, donde esto sea posible).
