Supongamos $V_1,\dots,V_k$ son espacios vectoriales de finito dimensión. Entonces yo podría demostrar fácilmente que $(V_1\otimes\cdots\otimes V_k)^\ast\simeq V_1^\ast\otimes\cdots\otimes V_k^\ast$. Mi prueba fue como que: primero de todo, he demostrado que si para cada una de las $i$ tenemos $W_i$ otro espacio vectorial tal que $V_i\simeq W_i$$V_1\otimes\cdots\otimes V_k \simeq W_1\otimes\cdots\otimes W_k$.
Entonces, ya que estoy suponiendo que cada una de las $V_i$ finito dimensional, cada una de las $V_i\simeq V_i^\ast$ y además, hemos $V_1\otimes\cdots\otimes V_k$ también finito dimensionales, de modo que
$$(V_1\otimes\cdots\otimes V_k)^\ast \simeq V_1\otimes\cdots\otimes V_k\simeq V_1^\ast\otimes \cdots \otimes V_k^\ast$$
y así se demostró. Ahora, si los espacios no son finito dimensionales esta prueba no puede ser utilizado. En ese caso, la propiedad todavía se mantiene? Es posible demostrar por infinitos espacios dimensionales?
He intentado probarlo directamente, la construcción de un isomorfismo. He escogido primero la asignación de $\psi : V_1^\ast\times\cdots\times V_k^\ast \to \mathcal{L}(V_1,\dots,V_k;\mathbb{K})$ dada por
$$\psi(f_1,\dots,f_k)(v_1,\dots,v_k) = f_1(v_1)\cdots f_k(v_k)$$
este mapa es multilineal y, por tanto, por la universal de los bienes corresponde un único lineal de asignación de $\phi : V_1^\ast\otimes \cdots \otimes V_k^\ast \to \mathcal{L}(V_1,\dots,V_k;\mathbb{K})$ tal forma que:
$$\phi(f_1\otimes\cdots\otimes f_k)(v_1,\dots,v_k) = f_1(v_1)\cdots f_k(v_k)$$
Para mostrar que esta $\phi$ es isomorphis iba a tener que encontrar una inversa, pero yo no tenía ninguna idea. Es posible completar esta prueba?
Muchas gracias de antemano.
