Mostrar que $\lim_{t\to \infty}u(x,t)=\frac{A+B}{2}$, para cada una de las $x\in\Bbb R$.

Question

Deje $u(x,t)$ $C^2$ delimitada solución de $$u_t(x,t)-u_{xx}(x,t)=0,x\in \Bbb R, u(x,0)=f(x)$$ where $f\in C(\Bbb R)$ satisfies: $\lim_{x\+\infty}f(x)=A,\lim_{x\a\infty}f(x)=B$. Show that $\lim_{t\to \infty}u(x,t)=\frac{A+B}{2}$, for each $x\in\Bbb R$.

Mi intento:

Trato de usar la representación integral para la solución de la ecuación del calor (aquí es unidimensional $n=1$) $$u(x,t)=\int_{\Bbb R}\frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy$$ Then $\lim_{t\to\infty}u(x,t)=\lim_{t\to\infty}\int_{\Bbb R}\frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy$.

Entonces me quedé atrapado. Podría alguien amablemente ayuda? Gracias!

Answer 1

Primero debemos demostrar que para $z > x$, $$\lim_{t \to \infty} \int_z^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}dy = \frac{1}{2}$$ Para ver esto, vamos a $u = y - x$, luego por cambio de variables $$\int_z^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}dy = \int_{z - x}^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{u^2}{4t}}du$$ Tomando límites: $$\lim_{t \to \infty}\int_z^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}dy = \lim_{t \to \infty}\int_{z - x}^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{u^2}{4t}}du = \frac{1}{2}$$ El final de la $1/2$ viene de la observación de que la expresión anterior es $\lim_{t \to \infty} P(X_t \geq z - x)$ donde $P$ es la probabilidad e $X_t$ es una distribución normal con varianza $2t$. Por un cálculo similar, para $z < x$: $$\lim_{t \to \infty} \int_{-\infty}^z \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}dy = \frac{1}{2}$$

Ahora fix $\epsilon > 0$ y elija $x_R$ tal que para todos los $y \geq x_R$, $$A - \epsilon \leq f(y) \leq A + \epsilon$$ A continuación, \begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy &=& \lim_{t \to \infty} \int_x^{x_R} \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy + \lim_{t \to \infty} \int_{x_R}^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy \\ &\leq& 0 + \frac{A + \epsilon}{2} \\ \end{eqnarray*} El límite de la primera integral es cero debido a que $f$ es continua por lo que alcanza un máximo/mínimo en el intervalo compacto $[x, x_R]$, y el integrando tiende a cero como $t \to \infty$.

Podemos realizar el mismo cálculo para el límite inferior $f(y) \geq A - \epsilon$ para obtener: $$\frac{A - \epsilon}{2} \leq \lim_{t \to \infty} \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy \leq \frac{A + \epsilon}{2}$$

Ya que este tiene para todos los $\epsilon > 0$ se han obtenido las $A/2$ límite. Consideraciones similares se producirá el $B/2$ límite por el lado izquierdo. La combinación de todo lo que juntos podemos ver:

$$\lim_{t \to \infty} u(x, t) = \lim_{t \to \infty} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy = \lim_{t \to \infty} \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy + $$ $$\lim_{t \to \infty} \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt {4\pi t}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}f(y)dy = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}$$