¿Por qué la suma
\begin{equation*} \frac{1}{\cos x}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(2n-1)\pi }{x^2-\left (n-\frac{1}{2}\right )^2\pi^2} \end{ecuación*}
sostenga?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede encontrar parcial fracción expansiones dadas como ejemplos en muchos textos sobre análisis complejo. Por ejemplo, usted encontrará una derivación de esta serie en el Ejemplo 1 en este enlace para Markushevich y Silverman del libro. Se usa "del teorema de Cauchy parcial fracción expansiones", dado un par de páginas anteriores en este enlace.
Ejemplo 2 da la serie para $\cot$, aunque en la vista previa no puedo ver si $\tan$ $\csc$ están incluidos. El análogo de la serie para $\tan$ se deriva en Wikipedia. Cada una de estas series puede ser útil para la evaluación de series numéricas. Por ejemplo, $x=0$ en su serie de obtener $$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots.$$ Y aunque no está directamente relacionado a tu pregunta, he pensado que me gustaría agregar a la luz de la reciente pregunta sobre la evaluación de la suma de los recíprocos de los cuadrados que si usted toma la fracción parcial de la serie $$\tan(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{-2x}{x^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)^2\pi^2},$$ dividir por $x$ y deje $x$$0$, la reorganización de los rendimientos $$\frac{\pi^2}{8}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots,$$ que a su vez (porque la suma de los pares es $\frac{1}{4}$ el total de la suma) conduce a $$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots.$$
