Conceptual/Gráfica de la comprensión de la Serie de Fourier.

Question

He estado leyendo acerca de cómo la Serie de Fourier de obras, así como la ortogonalidad anula todas pero la que estamos buscando. He leído derivaciones de la Serie de Fourier. Lo que me gustaría es que, más pictórica/comprensión conceptual de lo que es físicamente pasando en mi cabeza para que todo esto se parece más lógico para mí. $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \cos(nx)\,\mathrm{d}x\ \forall\ n\ge 0 $$

Me gustaría gráficamente entender esta ecuación. Puedo ver que la ecuación es, básicamente, diciendo que el valor promedio de la multiplicación de una función, $f(x)$, $\cos(nx)$ le dará la amplitud de $\cos(nx)$. Ahora aquí está mi pregunta: ¿por qué es esto así? ¿Por qué el hallazgo de que el valor promedio de dar la amplitud que el coseno debe tener? (En un geométrica/pictóricas o gráficas sentido).

Espero que lo que estoy diciendo tiene sentido.

Gracias por tu tiempo.

Answer 1

Me contestó una pregunta relacionada con la dsp.SE en que he señalado que el coeficiente de Fourier $a_n$ es el número de que minimiza el error cuadrático $$\int_{-\pi}^{\pi} (f(x) - a_n\cos (nx))^2 \ \mathrm dx$$ entre la función de $f(x)$ y su aproximación en términos de un múltiplo de $\cos (nx)$. La notación es un poco diferente y más ingeniería orientada, sin embargo.

Answer 2

Creo que la mayoría, naturalmente, la interpretación visual de la serie de Fourier es en un marco complejo. El ejemplo más básico sería la desaparición de la integral de entero en escala de exponenciales complejas:

$$\int_{-\pi}^\pi e^{inx}dx=\oint_{\gamma}zdz=\delta_n.$$

La razón de esto es el cero es simple: se traza el círculo unidad en el plano complejo ($n$ a veces), después de haber simetría en tanto en la reflexión y la rotación, y por lo tanto se debe evaluar el origen, geométricamente hablando. Cuando creamos una combinación lineal de estas funciones, podemos determinar el coeficiente de $e^{inx}$ por multipling por su complejo conjugado y, a continuación, integrar (y normalización): si consideramos la función como un sistema de "clockwork," este proceso está calibrado a simplemente "retraso" todas las "piezas" del sistema por el equivalente de lo que el $e^{inx}$ "engranaje" contribuye a que el reloj; todas las otras piezas todavía estará de vuelta y por lo tanto va a evaluar a cero por el mismo, por consideraciones de simetría, mientras que el real $e^{inx}$ gear llegado a un punto muerto, y así medir su coeficiente.

Esto funciona debido a que el "reloj del sistema" es una forma de combinación lineal de "gears", y la ley de integración también es lineal y por lo tanto se puede distinguir entre la "ejecución" versus "detenido" engranajes.

Para llevar esta comprensión de la configuración, nos proyectamos hacia abajo por intermitentemente hacer los coeficientes de la $e^{inx}$ equipo y su conjugado $e^{-inx}$ de la misma. La conjugación se invierte la dirección de rotación, y cuando tenemos que añadir el efecto de dos engranajes girando en direcciones opuestas, su imaginaria cancelar y nos quedamos con un "verdadero" equipo: uno que es una onda sinusoidal en $[-1,1]$ (después de la media, de todos modos). Este tipo de arte siempre se descompone en complejos engranajes que son imágenes especulares uno del otro, así que no es la misma imagen visual en el trabajo como antes, pero se ha "colapsado" hacia abajo, como un pliegue de la tienda de acampar en los puramente en la recta real.

Que trabaja para $\cos (nx)$, pero $\sin(nx)$ es creado de manera un poco diferente: un complejo exponencial menos otro. La negación tiene el efecto de reflexión en un engranaje, tan geométricamente $e^{inx}-e^{-inx}$ va a ser un engranaje más de su "imagen espejo" de nuevo, pero esta vez el "espejo" es el eje imaginario en lugar de el eje real. Cuando dividimos por $2i$ le damos la vuelta en la recta real. Va de una compleja serie de Fourier para una trig uno es, efectivamente, la descomposición de sus engranajes en real y lo imaginario sinusoides, a continuación, situar estos sinusoides en el mismo subespacio de $\mathbb{C}$ girando el imaginario sobre ella (y a la compensación por la rotación de los coeficientes de estas ondas en la opuesta dirección, por lo que podemos representar la misma función). Que va desde el coseno seno de expansión hasta el más complejo es, por tanto, la inversión exacta de este proceso: tamizado en oleadas y poniendo sus correspondientes tiendas de campaña.

Por último, ¿cómo es que nosotros extraeremos los coeficientes de los sinusoides de la misma manera que lo hacemos con exponenciales complejas? La explicación es simple: la linealidad. La obtención de los coeficientes de los sinusoides es equivalente a la obtención de los coeficientes de las réplicas de exponenciales complejas se descomponen en y, a continuación, ponerlos juntos. Cuando escribimos esto último, podemos poner las dos integrales juntos y hacer una sola trigonométricas, es decir, la antigua.

Tenga en cuenta que este gráfico perspectiva interpreta $x$ "tiempo". También estoy seguro de cómo "ver" que las exponenciales complejas o de ondas sinusoidales forma una completa base para $L^2\big([-\pi,\pi]\big)$...

Answer 3

Vamos a probar una (posiblemente) un enfoque original y mostrar que la serie de Fourier no se mucho acerca de las regularidades que acerca de las discontinuidades de los diferentes órdenes. Con este método, la $a_n$ coeficientes se obtiene sin la integración en absoluto (al menos para la mayoría de las funciones comunes) !

La discontinuidad de primer orden o salto de discontinuidad de la función $f$ a punto de $x$ es dado, cuando el límite existe y no es cero, por : $\ \displaystyle \delta f(x)=\lim_{h\to 0}\ f\left(x+\frac h2\right)-f\left(x-\frac h2\right)$.

Más generalmente, la discontinuidad de la orden de $m$ ( $m>0$ ) vendrá dado por : $$ \delta f^{(m-1)}(x)=\lim_{h\to 0}\ f^{(m-1)}\left(x+\frac h2\right)-f^{(m-1)}\left(x-\frac h2\right)$$

Vamos a considerar una función de $f$ del período $2\pi$. Para simplificar vamos a suponer que $f$ es de clase $C^\infty$$(-\pi,\pi]$, excepto en un número finito de puntos de $x_1,x_2,\dotsc,x_l$ con discontinuidades de las órdenes de $m_1,m_2,\dotsc,m_l$.

Entonces la serie de Fourier se obtiene directamente como una suma de contribuciones : uno para cada discontinuidad de la orden de $m_k$ $x_k$ más un término constante $C$ : $$f(x)=C+ \frac 1{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^l \delta f^{(m_k-1)}(x_k)\times \Bigl\{\text{}m_k\text{-th integral}\int \cos(n(x-x_k)) dx\Bigr\}$$

( este resultado es una aplicación directa de la formal 'peine de Dirac' fórmula : $$\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-x_k-2\pi n)=\frac 1{2\pi}+\frac 1{\pi}\sum_{n=1}^\infty \cos\left(n(x-x_k)\right)$$ con $\delta$ la delta de Dirac de distribución debido a que la integral de $\delta(x)$ $\operatorname{H}(x)$ la función escalón unitario, integral que es la función de rampa y así sucesivamente... )

Vamos a reescribir $f(x)$ como : $$f(x)=C+ \frac 1{\pi} \sum_{k=1}^l \delta f^{(m_k-1)}(x_k)\times\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left(n(x-x_k)-m_k \frac{\pi}2\right)}{n^{m_k}}$$

Para obtener el $a_n$ $b_n$ coeficientes de $\cos(nx)$ $\sin(n)$ sólo queda usar $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$.

El término constante será el de referencia, el $\displaystyle \frac 1n$ términos revelan el salto de discontinuidad de la función original (a menudo en la transición $\pi\to -\pi$, pero no sólo!), el $\displaystyle \frac 1{n^2}$ términos revelan la discontinuidad de la derivada de $f(x)$ y así sucesivamente...

Vamos a ver esto en ejemplos sencillos :

• Onda de diente de sierra : no es sólo un primer orden de la discontinuidad de $f(x)=x$ $(-\pi,\pi]$ a punto de $x=\pi$, con un salto de $\delta f(\pi)=-\pi-\pi=-2\pi\ $ por lo que : $$f(x)=C+ \frac {-2\pi}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(n(x-\pi)-1\frac{\pi}2\right)}{n}=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n(x-\pi))}{n}$$ $$=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\sin(nx)}{n}$$
• parábola : $f(x)=x^2$ $(-\pi,\pi]$ con un de segundo orden discontinuidad en $x=\pi$ : $\delta f'(x)= -2\pi-2\pi\ $ dar : $$f(x)=C- 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left(n(x-\pi)-2\frac{\pi}2\right)}{n^2}=C+4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\cos\left(nx\right)}{n^2}$$ (con $C=\frac{\pi^2}3$ conseguir $f(0)=0$)
• "tercera orden": $f(x)=x^3$ $(-\pi,\pi]$ tiene un primer y tercer fin de discontinuidad en $x=\pi$ : $\delta f(x)= -\pi^3-\pi^3$ y $\delta f''(x)= -6\pi-6\pi\ $ por lo que : $$f(x)=C+ \frac {-2\pi^3}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(n(x-\pi)-\frac{\pi}2\right)}{n}+\frac {-12\pi}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(n(x-\pi)-3\frac{\pi}2\right)}{n^3}$$ $$=-2\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\sin(nx)}n+12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\sin(nx)}{n^3}$$

Answer 4

Calcular el coeficiente de Fourier $$c_k\ :=\ {1\over2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\ e^{-ikt}\ dt$$ para una determinada frecuencia $k$ significa tomar una "sonda" de el (periódico) la función $f$: De alguna manera son la medición de la "interferencia" entre el $f$ y el puro armónico $\chi_k:\ t\mapsto e^{ikt}$. Cuando el argumento de $\arg\bigl(f(t)\bigr)$ se comporta más o menos en el paso con el argumento de la pura armónico $\chi_k$, a continuación, habrá un poco de cancelación en la integral anterior, y $|c_k|$ será grande. En particular, si $f(t)=a e^{ikt}$ algunos $a\in{\mathbb C}$$c_k=a$.

Si, por otro lado, $\arg\bigl(f(t)\bigr)$ es más o menos distribuidos al azar con respecto a $\arg(\chi_k)$ o $\arg(\chi_k)$ más o menos distribuidos al azar con respecto a $\arg\bigl(f(t)\bigr)$, entonces hay un montón de cancelación en el integral, y el $|c_k|$ será pequeño. El último, por ejemplo, el caso cuando se $f$ es un "letargo" la función y el $|k|$ es muy grande.

Answer 5

Nunca trate de pensar en cuál es la forma integral de los coeficientes de decir. La manera en que pienso es que la serie de Fourier está tratando de hacer su función de sin/cos ondas (posiblemente usando una infinidad de conseguir líneas rectas).

La integral se utiliza en la elaboración de los coeficientes en realidad es sólo un truco que funciona (el uso de ortogonalidad). Probablemente hay un buen geométrica significado para él, pero creo que no es necesario para entender la teoría de series de Fourier.