No. Si $M$ es finito, siempre hay al menos una estructura de anillo en $M$; si la cardinalidad de a$M$$n$, a continuación, poner los elementos de $M$ en una correspondencia uno a uno con los elementos del anillo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$; y el de operaciones de $+$ $\times$ ser inducidas en $M$ por la correspondencia. Sin embargo, a menos $n$ es una potencia de un primo, no hay ningún campo de la estructura en $M$.
El problema es que si $M$ es finito y su orden no es una potencia de un primo, cualquier estructura de anillo en $M$ contendrá divisores de cero es decir, distinto de cero elementos $a,b$ tal que $ab=0$. Estos elementos no pueden posiblemente tener inversos; por ejemplo, si $a$ tenía una inversa, podríamos multiplicar $ab=0$ $a^{-1}$ obtener $b=0$ pero $b$ se presume distinto de cero. Pero en un campo, todas distinto de cero, de elementos inversos.
La razón por la que $M$ debe contener divisores de cero si $n$ no es una potencia de un primo es como sigue:
Deje $M$ ser un anillo arbitrario de la orden de $n$. No hay una única homomorphism de $\mathbb{Z}$ en cualquier anillo. Si $\bar{1}$ es la identidad multiplicativa del anillo, el homomorphism se define mediante el envío de $1\mapsto\bar{1}$, $2\mapsto \bar{1}+\bar{1}$, etc. La imagen de este homomorphism es un sub-anillo $S\subset M$. Deje $h$ ser el orden de $S$. A continuación, $S$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$, debido a que es (por el primer teorema de isomorfismo) isomorfo a un cociente de $\mathbb{Z}$, y es el fin de $h$.
Ahora si $h$ es compuesto, entonces $\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$ contiene divisores de cero: si $h=ab$ es un trivial de la factorización, a continuación, los residuos de $a,b$ mod $h$ satisfacer $\bar{a}\bar{b}=0$$\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$. Así que si $M$ es un campo, $h$ tiene que ser la mejor. A continuación, $S\cong \mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$ es un subcampo de la $M$.
Ahora sabemos que si $M$ es un campo finito de orden $n$, tiene un subcampo $S$ con un primer número de elementos. A continuación, $M$ es en realidad un espacio vectorial sobre $S$. Es un finito dimensional espacio vectorial, ya que sólo tiene un número finito de elementos. Dicen que es la dimensión de $m$. Entonces es isomorfo como un espacio vectorial a $S^m$ para un número finito $m$. (Esto no es un campo de isomorfismo porque $S^m$, no es un campo.) Pero el orden de $S^m$$h^m$, por lo que este es el orden de $M$. Vimos que $h$ debe ser el primer para $M$ a ser un campo, de lo contrario $S$ contiene divisores de cero, así que esto demuestra que el orden de $M$ debe ser una potencia de un primo.
Esto responde a la pregunta, pero se me hizo un poco más fuerte reclamo: si $n$ no es una potencia de un primo, entonces cualquier estructura de anillo en $M$ contiene divisores de cero. Me han demostrado que si $S$, la imagen homomórfica de $\mathbb{Z}$, no es de primer orden, a continuación, $S$ y, por tanto, $M$ contiene divisores de cero, y que si $M$ pasa a ser un campo, entonces el orden de $M$ es un poder que de $S$. El más fuerte reclamo se basa en la observación de que no es posible que una estructura de anillo en un conjunto finito $M$ para evitar tener divisores de cero sin convertirlo en un campo.
Aquí es una manera de probar esto: si $M$ es un anillo finito y no hay elemento de $M$ es un divisor de cero, entonces vamos a $a$ ser cualquier elemento distinto de cero de a $M$. Dos elementos de la forma $ba$ $ca$ no puede ser igual, a menos que $b=c$, porque si fueran tendríamos $(b-c)a=ba-ca=0$, pero nos dijeron que no había divisores de cero y $a$ es distinto de cero, por lo que llegamos a la conclusión de $b-c=0$ es decir $b=c$. Para resumir, si $ba=ca$$b=c$. Esto significa que la multiplicación de los elementos de $M$ $a$ es una función inyectiva de a $M$. Debido a $M$ es finito, esto implica es bijective y, en particular, surjective. Así que hay un elemento que cuando se multiplica por $a$ rendimientos $1$. Esto significa $a$ es invertible en a $M$. Ya que el argumento se aplica a cualquier valor distinto de cero $a$, esto demuestra que cada elemento distinto de cero de el anillo de $M$ es invertible, es decir, $M$ es un campo.
Para resumir los resultados: si $M$ es un anillo finito y no tiene divisores de cero, entonces es un campo, lo que significa que la imagen homomórfica de $\mathbb{Z}$ $M$ (a los que llamamos $S$) de primer orden de ($h$), y $M$ es finito-dimensional espacio vectorial sobre este subcampo, por lo que su orden es una potencia de un primo. Así que si $M$ no es una potencia de un primo, cualquier estructura de anillo en $M$ debe tener divisores de cero.
