Demostrando $1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ el uso de la inducción

Question

Cómo puedo probar que

$$1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

para todo $n \in \mathbb{N}$? Estoy buscando una prueba usando inducción matemática.

Gracias

Answer 1

SUGERENCIA de $\: $ Primer trivialmente inductivamente demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo de la Diferencia de

$$\rm\ F(n)\ =\ \sum_{i\: =\: 1}^n\:\ f(i)\ \ \ffi\ \ \ F(n) - F(n-1)\ =\ f(n),\quad\ F(0) = 0$$

El resultado se sigue ahora de inmediato por $\rm\ F(n)\ =\ (n\a:(n+1)/2)^2\ \Rightarrow\ F(n)-F(n-1)\ =\: n^3\:.\ $

Tenga en cuenta que al emplear el Teorema Fundamental, hemos reducido la prueba para el trivial de mecánica de la verificación de una ecuación polinómica. No hay ingenio que se requiere.

Tenga en cuenta que la prueba del Teorema Fundamental es mucho más obvia que para su caso especial, porque el telescópica de cancelación es obvio en este nivel de generalidad, mientras que es generalmente ofuscado en la mayoría de los casos específicos. Para una mayor discusión ver a mi muchos posts en telescopy.

Answer 2

Está tratando de demostrar algo de la forma, $$A=B.$$ tanto $A$ y $B$ dependen de $n$, por lo que debo escribir, $$A(n)=B(n).$$ El primer paso es comprobar que $$A(1)=B(1).$$ Puedes hacer eso? OK, entonces usted quiere deducir $$A(n+1)=B(n+1)$ de$ de $a(n)=B(n)$, por lo que escribir $A(n+1)=B(n+1)$. Ahora estamos tratando de llegar desde $A(n)=B(n)$, entonces, ¿qué tienes que hacer para $A(n)$ para convertirlo en $A(n+1)$, que es (en este caso), ¿qué tienes que añadir a $A(n)$ obtener $A(n+1)$? OK, bien, usted puede agregar cualquier cosa que te gusta a un lado de la ecuación, siempre y cuando se agregue lo mismo con el otro lado de la ecuación. Así que ahora en el lado derecho de la ecuación, se tiene $B(n)+{\rm algo}$, y lo que usted desea tener en el lado derecho es de $B(n+1)$. Puede usted demostrar que $B(n)+{\rm algo}$ es $B(n+1)$?

Answer 3

Sea P(n) ser de tal declaración. Vamos a ver por qué en el siguiente paso. $$P(n):1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

Paso 1. Vamos a $n = 1$.

Entonces $\mathrm{LHS} = 1^3 = 1$, $\mathrm{IZQUIERDA} = \frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 $.

Así LHS = RHS, y esto significa que P(1) es verdadera!

Paso 2. Deje que $P(n)$ ser cierta para $n = k$; es decir, $$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$$

Vamos a demostrar que $P(k+1)$ es cierto!

Agregar $(k+1)^3$, que es de $(k+1)^{\mathrm th}$ plazo de la LHS, a ambos lados de (1); entonces tenemos: $$\begin{align*} 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 &= \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3\\ &= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}\\ &= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}\\ &= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.\\ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 &= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \end{align*}$$ Creo que esta afirmación es el mismo que $P(n)$ con $n = k+1$.

Answer 4

Puede ser útil para reconocer que tanto en el lado derecho y el lado izquierdo representan la suma de las entradas en las tablas de multiplicar. El lado izquierdo representa la suma de Ls (voy a esbozar los poco), y el lado derecho, la suma de la suma de las filas (o columnas])$$\begin{array}{lll} \color{blue}\times&\color{blue}1&\color{blue}2\\ \color{blue}1&\color{verde}1&\color{rojo}2\\ \color{blue}2&\color{rojo}2&\color{rojo}4\\ \end{array}$$ Vamos a empezar por la construcción de nuestras tablas de multiplicar con una sola entrada, $1\times1=1=1^2=1^3$. A continuación, se agregan los $2$s, el cual es representado por el color rojo L [$2+4+2 = 2(1+2+1)=2\cdot2^2=2^3$]. De modo que el lado izquierdo (verde 1 + rojo L) en la actualidad es $1^3+2^3$, y el lado derecho es $(1+2)+(2+4)=(1+2)+2(1+2)=(1+2)(1+2)=(1+2)^2$. $$\begin{array}{llll} \color{blue}\times&\color{blue}1&\color{blue}2&\color{blue}3\\ \color{blue}1&\color{verde}1&\color{rojo}2&\color{color granate}3\\ \color{blue}2&\color{rojo}2&\color{rojo}4&\color{color granate}6\\ \color{blue}3&\color{color granate}3&\color{color granate}6&\color{color granate}9\\ \end{array}$$ La próxima, vamos a agregar los $3$s L. $3+6+9+6+3=3(1+2+3+2+1)=3\cdot3^2=3^3$. Así que ahora el lado izquierdo (verde 1 + rojo L + granate L) en la actualidad es $1^3+2^3+3^3$, y el lado derecho es $(1+2+3)+(2+4+6)+(3+6+9)=(1+2+3)+2(1+2+3)+3(1+2+3)=(1+2+3)(1+2+3)=(1+2+3)^2$.

Por ahora, debemos ver un patrón emergente que nos dará la dirección en la comprobación de que el título de la declaración.

Lo siguiente que necesitamos para probar inductivamente que $\displaystyle\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$, y utilizar esa relación para demostrar que $1+2+3+\dots+n+\dots+3+2+1 = \dfrac{n(n+1)}{2}+ \dfrac{(n-1)n}{2} = \dfrac{n((n+1)+(n-1))}{2}=\dfrac{2n^2}{2}=n^2$

Por último, se debe estar recta hacia adelante para demostrar que: $$\begin{array}{lll} (\sum^n_{i=1}i+(n+1))^2 &=& (\suma^n_{i=1}i)^2 + 2\cdot(\sum^n_{i=1}i)(n+1)+(n+1)^2\\ &=& \sum^n_{i=1}^3 + (n+1)(\sum^n_{i=1}i + (n+1) + \sum^n_{i=1})\\ &=& \sum^n_{i=1}^3 + (n+1)(n+1)^2\\ &=& \sum^n_{i=1}^3 + (n+1)^3\\ &=& \sum^{n+1}_{i=1}^3\\ \end{array}$$ y, como ya fue señalado anteriormente, $$(\sum_{i=1}^1 i)^2 = \sum_{i=1}^1 i^3=1$$