Cómo para denominar a los "poderes" de una función?

Question

Estoy trabajando con funciones propias, y he aprendido que el funcionamiento de los poderes de la media de la composición:

$f^3 = f \circ f \circ f$

Pero estoy buscando algo que significa $fff$. Por lo $(fff)(x) = (f(x))^3$ Hay un estándar de facto en la notación que se puede utilizar cuando la mezcla de los dos? Preferiblemente sin tener que escribir la $(x)$ parte?

Parece que tenemos una buena dosis de ambigüedad aquí. A la derecha en la pregunta del título: El poder de una función puede significar dos cosas. A veces, incluso el círculo se omite para hacer que se vea como la multiplicación.

Answer 1

Ya he visto lo siguiente, que he adoptado: $$\begin{align} f^n(x) &= (f(x))^n \\ f^{(n)}(x) &= \frac{{\rm d}^nf}{{\rm d}x^n} \\ f^{\circ n}(x) &= (f \circ f \circ \cdots \circ f)(x)\end{align}$$ Sin embargo $f^{\circ n}$ no parece ser la norma, por lo que siempre debe advertir al lector cuando se utiliza.

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El poder de una función puede significar dos cosas. A veces, incluso, el círculo se omite para hacer que se vea como la multiplicación.

Eso es porque la colección de todos los bijections a partir de un conjunto a se forma un grupo con la composición de funciones y la operación de un grupo es generalmente visto como la multiplicación.

Answer 2

La notación más común que he visto de $n$-composición del pliegue es $$f(f(\ldots f(x)\ldots ))=f^{n}(x)$$ Sin embargo, esto generalmente es acompañado siempre por un comentario explicando que esto es lo que la notación significa. Yo recomendaría incluir un comentario.

Estoy bastante seguro de que no hay una notación estándar para rastrillar una función a la potencia $n $, pero de nuevo, si usted definir algunas anotaciones en el texto, entonces, es poco probable a ser criticado.

Answer 3

FWIW, $f\,f\,f$ es también no muy unabiguous: que podría ser leído como $f(f(f))$, o $f\:(f,f)$ – a pesar de que ambos son en realidad un poco extraño, y sólo tienen sentido para polimórficos / funciones de orden superior.

Hacer uso de $f^n$ si usted necesita mucho de esto, pero también hacer algunas aclaraciones al respecto. O usar algo completamente diferente – ¿qué hay de $\prod^n f$? Que debe ser bastante inequívoca (por lo menos a menos que usted también tiene un símbolo de $\Pi$ a su alrededor...).

Answer 4

Lo que parece que quieren es la composición de una función con la cubicación.

Aunque un poco detallado, creo que esta es la correcta:

$$ (x \mapsto x^3) \circ f $$

No creo $^3 \circ f$ o $^3f$ es la notación estándar, pero usted puede encontrar que es útil si usted está repitiendo mucho.

Answer 5

Esto es una consecuencia negativa de la paloma-agujero principal. Hay más conceptos matemáticos para expresar que hay (sin complicaciones) símbolos. Tiene que haber un cierto equilibrio entre la claridad y la sencillez.

En 'Seguramente estás Bromeando, Señor Feynman', de Richard Feynman habla sobre el estudio de la trigonometría.

"Mientras yo estaba haciendo todo esto de la trigonometría, no me gusta los símbolos para el seno, el coseno, la tangente, y así sucesivamente. Para mí, "pecado " f" se parecía a s veces veces n veces f! Así que me inventé otro símbolo, como un signo de la raíz cuadrada, que era un sigma con un largo brazo que sobresale de ella, y yo la f por debajo. La tangente era un tau con la parte superior de la tau extendido, y por el coseno he hecho una especie de rayos gamma, pero se veía un poco como el signo de la raíz cuadrada. Ahora el seno inverso fue el mismo sigma, pero de izquierda a derecha refleja de modo que comenzó con la línea horizontal con el valor por debajo, y luego el sigma. Ese fue el seno inverso, NO se hunden f--que estaba loco! Ellos tenían y que en los libros! Para mí, sin_i significaba que yo/sinusoidal, el recíproco. Así que mi símbolos eran mejores."

$\cdots$

Pensé que mi símbolos eran tan buenas, si no mejores, que los símbolos normales--no hace ninguna diferencia lo que los símbolos que se utilizan, pero me descubrió más tarde que sí hace una diferencia. Una vez cuando estaba explicando algo a otro niño en la escuela secundaria, sin pensarlo empecé a hacer estos símbolos, y él dijo, "¿Qué demonios son esos?" Entonces me di cuenta de que si yo voy a hablar con nadie, voy a tener que usar el estándar los símbolos, por lo que finalmente me dieron mi propio símbolos.